[1]
\(\displaystyle E[X]=\int^\infty_0 xf(x)dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 x\lambda e^{-\lambda x}dx\)\(\displaystyle = \frac{1}{\lambda}\)
[2]
\(Q(c)\)
\(Q(c)=P(X>c)\)
\(\displaystyle = \int^\infty_c \lambda e^{-\lambda x}dx\)\(=e^{-\lambda c}\)
\(u(\alpha)\)
\(P(X>u(\alpha))=\alpha\)
\(e^{-\lambda u(\alpha)}=\alpha\)
これを解いて、
\( \displaystyle u(\alpha)=-\frac{\ln \alpha}{\lambda}\)
[3]
\(\hat{\lambda}\)
対数尤度関数は、
\(\displaystyle l=\ln \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i}\)
\(\displaystyle = n\ln \lambda -\lambda \sum_{i=1}^n x_i\)
\(=n\ln \lambda -\lambda n \bar{X}\)
\(\displaystyle \frac{\partial l}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda} -n\bar{X}\)\(=0\)
として、
\(\hat{\lambda}=\displaystyle \frac{1}{\bar{X}}\)
\(\hat{Q(c)}\)
\(\displaystyle \hat{Q(c)}=e^{-\hat{\lambda} c}\)\(\displaystyle =e^{-\frac{c}{\bar{X}}}\)
\(\hat{u(\alpha)}\)
\(\displaystyle \hat{u(\alpha)}=-\frac{\ln \alpha}{\hat{\lambda}}\)\(\displaystyle =-\bar{X}\ln \alpha\)
また、
\(E[\hat{u(\alpha)}]=-\ln \alpha E[\bar{X}]\)
\(\displaystyle =-\frac{\ln \alpha}{\lambda} \)
[4]
数学的帰納法で証明する。
\(Y_n=X_1+ \cdots X_n\)として、
\( \left\{ \begin{array}{} Y_{n+1} = Y_n+X_{n+1} \\ Y’_n=Y_n \end{array} \right. \)
とすると、
\( \left\{ \begin{array}{} X_{n+1}=Y_{n+1}-Y’_n \\ Y_n=Y’_n \end{array} \right. \)
で、ヤコビアンは\(||J||=1\)。
\(Y_{n+1},Y’_n\)の同時確率密度関数は
\(f(Y_{n+1},Y’_n)=g_n(y’_n)f(y_{n+1}-y’_n)\)
\(\displaystyle = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}y_n^{‘n-1}e^{-\lambda y’_n}\lambda e^{-\lambda(y_{n+1}-y’_n)}\)
\(\displaystyle = \frac{\lambda^{n+1}}{\Gamma(n)}y_n^{‘n-1}e^{-\lambda y_{n+1}}\)
\(x_{n+1}=y_{n+1}-y’_n>0\)で\(y’_n < y_{n+1} \)の下で
\(\displaystyle g_{n+1}(y_{n+1})=\int^{y_{n+1}}_0 \frac{\lambda^{n+1}}{\Gamma(n)}y_n^{‘n-1}e^{-\lambda y_{n+1}} dy’_n\)
\(\displaystyle =\frac{\lambda^{n+1}}{\Gamma(n+1)}y_{n+1}^{n}e^{-\lambda y_{n+1}}\)
よって\(n\)の時の確率密度関数を問題文の与式の確率密度関数で仮定すると、\(n+1\)の時も成立する。
また、\(n=1\)の時も成立するので、示された。
また、
\(\displaystyle E[\tilde{Q(c)}]=\int^\infty_c \left(1-\frac{c}{y}\right)^{n-1} \frac{\lambda^{n}}{\Gamma(n)}y^{n-1}e^{-\lambda y} dy\)
\(\displaystyle =\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}\int^\infty_c (y-c)^{y-1}e^{-\lambda y}dy\)
\(y-c=s\)と変数変換して、
\(\displaystyle =\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}\int^\infty_0 s^{y-1}e^{-\lambda (s+c)}ds\)
\(\displaystyle =\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}e^{-\lambda c}\int^\infty_0 s^{y-1}e^{-\lambda s}ds\)
\(=e^{-\lambda c} \)(ガンマ分布の全区間の積分を利用)
\(=Q(c)\)
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