[1]
[1-1]
\(\hat{\beta}\)
\(s=t\)のとき、
\(X= \begin{pmatrix}1& 1 & s \\ 1& 1 & -s \\1& -1 & s \\1& -1 & -s \\ \end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -1 \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)
\(X^T X =\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -1 \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)
\( =\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)
\( =4\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s^2 \\ \end{pmatrix}\)
\((X^T X)^{-1}\)\( =\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)
\((X^T X)^{-1}X^T y\)\( =\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}y\)
\( =\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}y\)
\( =\displaystyle \frac{1}{4}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1/s& -1/s & 1/s & -1 /s\\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}y_1 \\y_2 \\y_3 \\y_4 \\ \end{pmatrix} \)
よって、
\(\hat{\beta} = \begin{pmatrix}\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \\\frac{y_1+y_2-y_3-y_4}{4} \\\frac{y_1-y_2+y_3-y_4}{4s} \\ \end{pmatrix} \)
\(V[\hat{\beta}]\)
\(V[\hat{\beta}] = \sigma^2 (X^TX)^{-1}\)
\( =\displaystyle \frac{\sigma^2}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)
[1-2]
\(|V[\hat{\beta}]|\)が最小となるとき、\( \displaystyle \left |\begin{matrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{matrix}\right|\)が最小となるときで、
\( \displaystyle \left |\begin{matrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{matrix}\right| = \frac{1}{s^2}\)
が最小になるときは、\(s\)が最大になるときで、\(s=L\)
[1-3]
\(\rm{tr}(V[\hat{\beta}])\)が最小となるとき、\( \displaystyle \rm{tr} \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)が最小となるときで、
\( \displaystyle tr\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix} = 2+\frac{1}{s^2}\)
が最小になるときは、\(s\)が最大になるときで、\(s=L\)
[2]
\(s=1\)のとき、
\(X= \begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -t \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -t \\ \end{pmatrix}\)
\(X^T X =\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -t & 1 & -t \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -t \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -t \\ \end{pmatrix}\)
\( =\begin{pmatrix} 4&0&2(1-t)\\ 0 &4 & 0\\2(1-t) &0 & 2(1+t^2) \\ \end{pmatrix}\)
余因子行列で逆行列を求める方法を用いて、
\( (X^T X)^{-1}\)\( =\displaystyle \frac{1}{32(1+t^2) -16(1-t)^2}\)\( \times \begin{pmatrix} 8(1+t^2) & 0& -8(1-t)\\ 0 & {8(1+t^2)\\-4(1-t)^2} & 0\\-8(1-t) & 0 & 16 \\ \end{pmatrix}\)
\( =\displaystyle \frac{1}{4(1+t)^2}\)\( \times \begin{pmatrix} 2(1+t^2) & 0& -2(1-t)\\ 0 & (1+t)^2 & 0\\-2(1-t) & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)
\(V[\hat{\beta}] = \sigma^2 (X^TX)^{-1}\)
\( =\displaystyle \frac{\sigma^2}{4(1+t)^2}\)\( \times \begin{pmatrix} 2(1+t^2) & 0& -2(1-t)\\ 0 & (1+t)^2 & 0\\-2(1-t) & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)
\( :=\displaystyle \frac{\sigma^2}{4(1+t)^2}\)\( \times M\)
[2-1]
\(|V[\hat{\beta}]|\)が最小となるとき、\( \displaystyle \left | \frac{1}{(1+t)^2}M\right|\)が最小となるときで、
\( \displaystyle \left | \frac{1}{(1+t)^2} M\right|\)\( = \displaystyle \frac{8(1+t^2)(1+t)^2-4(1-t)^2(1+t)^2}{(1+t)^6}\)
\( = \displaystyle \frac{4}{(1+t)^2}\)
が最小になるときは、\(t\)が最大になるときで、\(t=L=5\)
[2-2]
\(\rm{tr}(V[\hat{\beta}])\)が最小となるとき、\( \displaystyle \frac{1}{(1+t)^2} \cdot \rm{tr} M\)が最小となるときで、
\( \displaystyle \frac{1}{(1+t)^2}\cdot \rm{tr}M\)\( = \displaystyle \frac{3t^2+2t+7}{(1+t)^2}\)
\( = \displaystyle 3-\frac{4}{1+t}-\frac{8}{(1+t)^2}\)
\( = \displaystyle 8\left(\frac{1}{1+t}-\frac{1}{4} \right)^2 +\frac{5}{2}\)
が最小になるときは、\( \displaystyle \frac{1}{1+t}=\frac{1}{4} \)のときで、\(t=3\)
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