[1]
期待値と分散
\(E[D] = E[Y]-E[X] = \mu_Y-\mu_X = 0\)
\(V[D] = V[Y-X] =V[Y]+V[X] -2 S_{XY}\)
\( =\sigma^2_Y+\sigma^2_X -2 \rho_{XY}\sigma_X \sigma_Y\)\(=72\)
\(P(D \leq -4)\)
\(D\)は正規分布に従う2変数の線形結合なので、正規分布に従い、
\(D \sim N(0,72)\)
付表の正規分布表から
\(P(D\leq -4) = P(D/\sqrt{72} \leq -4/\sqrt{72} ) \approx 0.32\)
[2]
\(E[Y|X=132] = \alpha + \beta x\)
\(\displaystyle = \mu_Y -\frac{\sigma_{XY}}{\sigma^2_X}\mu_X + \frac{\sigma_{XY}}{\sigma^2_X} x\)
\(\displaystyle = \mu_Y +\frac{\sigma_{XY}}{\sigma^2_X}(x-\mu_X) \)
\(x=132\)およびそのほか与えられた値を代入して、
\(=129\)
\(V[Y|X=132] = \sigma^2\)
\(\displaystyle =\sigma^2_Y – \frac{\sigma^2_{XY}}{\sigma^2_X}\)
与えられた値を代入して、
\(=63\)
ここでいう「平均への回帰」とは、1回目の測定結果より、2回目の測定結果の方が平均値に近くなることをいっており、\(E[Y|X=132] = 129\)なので、\(132-129=3 mmHg\)は平均への回帰分だとみなせる。
[3]
\(V[X] = V[\theta]+V[\varepsilon_1] = \tau^2 + \psi^2\)
\(V[Y] = V[\theta]+V[\varepsilon_2] = \tau^2 + \psi^2\)
\(Cov[X,Y] = E[XY] – E[X]E[Y]\)\( = E[\theta^2]-E[\theta]^2\)\(=V[\theta]\)\(=\tau^2\)
また\(V[X] = \tau^2 + \psi^2 = 12^2\)\(,Cov[X,Y] = \tau^2 = 0.75 \cdot 12^2\)を解いて、\(\tau^2,\psi^2\)が計算される。
[4]
\(\theta|X=x\)は、
\(\displaystyle E[\theta|X=x] = \mu_\Theta -\frac{\sigma_{X\Theta}}{\sigma^2_X}\mu_X + \frac{\sigma_{X\Theta}}{\sigma^2_X} x\)
\(\displaystyle = \mu +\frac{\tau^2}{\tau^2+\psi^2}(x-\mu) \)
\(\displaystyle E[\theta|X=132] = 120 +\frac{0.75 \cdot 12^2}{12^2}(132-120)=129 \)
\(\displaystyle V[\theta|X=x] = \sigma^2_\Theta – \frac{\sigma^2_{X\Theta}}{\sigma^2_X}\)
\(\displaystyle = \tau^2 -\frac{\tau^4}{\tau^2+\psi^2} \)
\(\displaystyle V[\theta|X=132] = 0.75 \cdot 12^2 -\frac{0.75 ^2\cdot 12^4}{12^2} =27\)
の正規分布に従う。
[5]
\(Y|X=x \sim \theta|X=x + \varepsilon_2\)より、
\(E[Y|X=x] = E[\theta|X=x] = 129 (x= 132のとき)\)
\(V[Y|X=x] = V[\theta|X=x] +V[\varepsilon_2]\)
\(= 27+0.25\cdot 12^2 (x= 132のとき) = 63\)
よって、\(Y|X=132 \sim N(129,63)\)
\(P(Y\leq 128|X=132) = P((Y-129) / \sqrt{63} \leq (128-129) / \sqrt{63}|X=132)\)
\((128-129) / \sqrt{63} = -0.1259 \dots\)なので付表の正規分布表から\(P(Y\leq 128|X=132) \approx 0.45\)
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