[1]
\(\alpha\)は棄却域に入る確率で、帰無仮説\(\theta=0\)として、
\(\alpha\)\(=\displaystyle \int^3_1 \frac{1}{\pi \{1+x^2\}}dx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{1}{\pi}tan^{-1}(x)\right]^3_1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\pi}(\tan^{-1}(3)-\tan^{-1}(1))\)
\(=0.148\)
[2]
\(1-\beta\)は棄却域に入って、棄却すると検出される確率で、対立仮説\(\theta=1\)として、
\(1-\beta\)\(\displaystyle = \int^3_1 \frac{1}{\pi \{1+(x-1)^2\}}dx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{1}{\pi}tan^{-1}(x-1)\right]^3_1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\pi}\tan^{-1}(2)\)
\(=0.352\)
[3]
\(\displaystyle \lambda(x)=\frac{f_1(x)}{f_0(x)}\)
\(\displaystyle =\frac{1+x^2}{1+(x-1)^2}\)
これより、\(\lambda(1)=\lambda(3)=2\)
\(\ln \lambda(x)=\ln (1+x^2) -\ln \{1+(x-1)^2\}\)
\(\displaystyle \frac{d \ln \lambda(x)}{dx}\)\(\displaystyle =\frac{2x}{1+x^2}-\frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2}\)\(=0\)
として、\(x\)の2次方程式を解くと、\(x=\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
この\(x\)の時に傾きが\(0\)となる。
また、\(\lambda(0)=1\)の情報と、
\(\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}\lambda(x)=1\)から概形を図示する。(省略)
[4]
この検定は、
\( \delta(x)\)\(\displaystyle =\left\{ \begin{array}{} 1, &\left( \displaystyle \frac{f_1(x)}{f_0(x)}>2\right)\\ 0, &\left( \displaystyle\frac{f_1(x)}{f_0(x)}\leq 2 \right)\end{array}\right.\)
と書けるため、有意水準\(\alpha\)の中で最強力検定である。
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