はじめに
多変量正規分布の変数変換をしたのでまとめます。
具体的には、\(\boldsymbol{X}\sim N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)の時に\(A\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b}\)が従う確率分布を求めました。
ただし、\(\boldsymbol{X}\)は\(p\)次元確率ベクトル、\(\boldsymbol{\mu}\)は平均ベクトル、\(\Sigma\)は分散共分散行列、\(A\)は\(q \times p\)行列、\(\boldsymbol{b}\)は\(q\)次元ベクトルです。
多変量正規分布の変数変換
\( \boldsymbol{X}\sim N(\boldsymbol{\mu},\Sigma) \)の時、確率密度関数のモーメント母関数の定義より、
\(E[\exp(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{X})]\)\(\displaystyle = \exp\left( \boldsymbol{\mu} ^T\boldsymbol{t}+\frac{1}{2} \boldsymbol{t}^T\Sigma \boldsymbol{t} \right)\cdots ①\)
が成り立ちます。
\(Y= A\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b} \)のモーメント母関数を計算していきましょう。
\( E[\exp(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Y})] \)
\(=E[\exp(\boldsymbol{t}^T( A\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b} ))]\)
\(=E[\exp(\boldsymbol{t}^TA\boldsymbol{X}+\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{b})]\)
\(=E[\exp( \boldsymbol{t}^TA\boldsymbol{X} )]E[\exp( \boldsymbol{t}^T\boldsymbol{b} )]\)
\(\boldsymbol{b}\)は確率変数ではないので
\(= E[\exp( \boldsymbol{t}^TA\boldsymbol{X} )]\exp( \boldsymbol{t}^T\boldsymbol{b}) \)
前半部分の指数部分を\(\bigcirc^T\boldsymbol{X}\)の形で見るために、\( \boldsymbol{t}^TA =(A^T\boldsymbol{t})^T\)と変形すると、
\(=E[\exp( (A^T\boldsymbol{t})^T \boldsymbol{X})] \exp( \boldsymbol{t}^T\boldsymbol{b}) \)
①式を使って
\(= \displaystyle \exp\left( \boldsymbol{\mu}^T (A^T\boldsymbol{t}) +\frac{1}{2} (A^T\boldsymbol{t}) ^T\Sigma (A^T\boldsymbol{t}) \right) \)\( \exp( \boldsymbol{t}^T\boldsymbol{b}) \)
\(= \displaystyle \exp\left( (A\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{t} +\frac{1}{2} \boldsymbol{t}^T(A \Sigma A^T)\boldsymbol{t}) \right) \)\( \exp( \boldsymbol{b}^T\boldsymbol{t }) \)
\(= \displaystyle \exp\left( (A\boldsymbol{\mu}+ \boldsymbol{b} )^T \boldsymbol{t} +\frac{1}{2} \boldsymbol{t}^T(A \Sigma A^T)\boldsymbol{t}) \right) \)
これを多変量正規分布のモーメント母関数と見比べることで、
\(A\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b}\sim N( A\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{b}, A \Sigma A^T )\)だと分かりました。
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