統計検定 1級 2015年 統計応用(理工学) 問2 解答 解説

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[1]

公式の解答を参照。

[2]

\(\Lambda(t) = \displaystyle \int^t_0 \lambda(u)du\)

\( = \displaystyle \int^t_0 \frac{f(u)}{1-F(u)}du\)

\( =\displaystyle \left [-\ln (1-F(u))\right]^t_0 = – \ln (1-F(t))\)

よって、

\(F(t) = \displaystyle 1 -e^{-\Lambda(t)}\)

[3]

\(\displaystyle \frac{f(t)}{1-F(t)} = \frac{\frac{1}{\sigma} \phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{A(t)}\)

より、

\(\displaystyle \int^t_0\frac{f(t)}{1-F(t)}dt = \int^t_0\frac{\frac{1}{\sigma} \phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{A(t)}dt\)

\(\displaystyle -\ln (1-F(t)) = [-\ln A(t)]^t_0 \)\(\displaystyle = -\ln \frac{A(t)}{A(0)}\)

よって、

\(\displaystyle F(t) = 1 -\frac{A(t)}{A(0)}\)

\(\displaystyle f(t) = -\frac{-\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{A(0)}\)\(\displaystyle = \frac{\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{ A(0)}\)\( \quad (t \geq 0)\)

この時、\(f(t)\)は\(Z\sim N(\mu,\sigma^2)\)とした時の\(Z|Z\geq 0\)の確率密度関数を表しており、これを「正規分布\(N(\mu,\sigma^2)\)の\(t <0\)切断正規分布」という。

ただ、切断正規分布という言葉を知らなくても丁寧に説明すれば十分かと思います。

切断正規分布 - Wikipedia

[4]

\(\alpha= \displaystyle \int^c_0 f(t) dt\)

\(=\displaystyle \int^c_0 \frac{\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{ A(0)}dt \)

\(=\displaystyle \frac{1}{ A(0)}[-A(t)]^c_0 \)

\(=\displaystyle 1-\frac{A(c)}{ A(0)} \)

\(=\displaystyle 1-\frac{1-\Phi(\frac{c-\mu}{\sigma})}{ A(0)} \)

これを解いて、

\(c = \mu + \sigma\Phi^{-1}(1-(1-\alpha)A(0))\)

[5]

\(E[T|T>c]=\displaystyle \int^\infty_c t\frac{f(t)}{Pr\{T > c\}}dt\)

\(=\displaystyle \int^\infty_c t\frac{f(t)}{1-\alpha}dt\)

\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\int^\infty_c t\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)dt\)

\(\displaystyle \frac{t-\mu}{\sigma}=z\)で変数変換をすると

\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} (\mu+\sigma z)\phi\left(z\right)dz\)

ここで、

\(\displaystyle \int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} \mu\phi(z)dz\)

\(=\displaystyle \mu \left(1-\Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)\right)\)

\(=\displaystyle \mu (1-\alpha)A(0)\) ([4]の途中式を利用した)

また、

\(\displaystyle\int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} \sigma z\phi\left(z\right)dz\)は

\(\displaystyle \phi(z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\)なので、

\(\displaystyle = \sigma [-\phi(z)]^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}}\)\(\displaystyle = \sigma \phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)\)

以上より、

\(E[T|T>c]\)\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} (\mu+\sigma z)\phi\left(z\right)dz\)

\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\left\{\mu (1-\alpha)A(0) +\sigma \phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right) \right\}\)

\(=\mu\)\(+\displaystyle \frac{\sigma \phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)}{(1-\alpha)A(0)}\)

\(c = \mu + \sigma\Phi^{-1}(1-(1-\alpha)A(0))\)を代入して、

\(=\mu\)\(+\displaystyle \frac{\sigma \phi\left(\Phi^{-1}(1-(1-\alpha)A(0))\right)}{(1-\alpha)A(0)}\)


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