[1]
公式の解答を参照。
[2]
\(\Lambda(t) = \displaystyle \int^t_0 \lambda(u)du\)
\( = \displaystyle \int^t_0 \frac{f(u)}{1-F(u)}du\)
\( =\displaystyle \left [-\ln (1-F(u))\right]^t_0 = – \ln (1-F(t))\)
よって、
\(F(t) = \displaystyle 1 -e^{-\Lambda(t)}\)
[3]
\(\displaystyle \frac{f(t)}{1-F(t)} = \frac{\frac{1}{\sigma} \phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{A(t)}\)
より、
\(\displaystyle \int^t_0\frac{f(t)}{1-F(t)}dt = \int^t_0\frac{\frac{1}{\sigma} \phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{A(t)}dt\)
\(\displaystyle -\ln (1-F(t)) = [-\ln A(t)]^t_0 \)\(\displaystyle = -\ln \frac{A(t)}{A(0)}\)
よって、
\(\displaystyle F(t) = 1 -\frac{A(t)}{A(0)}\)
\(\displaystyle f(t) = -\frac{-\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{A(0)}\)\(\displaystyle = \frac{\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{ A(0)}\)\( \quad (t \geq 0)\)
この時、\(f(t)\)は\(Z\sim N(\mu,\sigma^2)\)とした時の\(Z|Z\geq 0\)の確率密度関数を表しており、これを「正規分布\(N(\mu,\sigma^2)\)の\(t <0\)切断正規分布」という。
ただ、切断正規分布という言葉を知らなくても丁寧に説明すれば十分かと思います。
[4]
\(\alpha= \displaystyle \int^c_0 f(t) dt\)
\(=\displaystyle \int^c_0 \frac{\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{t-\mu}{\sigma})}{ A(0)}dt \)
\(=\displaystyle \frac{1}{ A(0)}[-A(t)]^c_0 \)
\(=\displaystyle 1-\frac{A(c)}{ A(0)} \)
\(=\displaystyle 1-\frac{1-\Phi(\frac{c-\mu}{\sigma})}{ A(0)} \)
これを解いて、
\(c = \mu + \sigma\Phi^{-1}(1-(1-\alpha)A(0))\)
[5]
\(E[T|T>c]=\displaystyle \int^\infty_c t\frac{f(t)}{Pr\{T > c\}}dt\)
\(=\displaystyle \int^\infty_c t\frac{f(t)}{1-\alpha}dt\)
\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\int^\infty_c t\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)dt\)
\(\displaystyle \frac{t-\mu}{\sigma}=z\)で変数変換をすると
\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} (\mu+\sigma z)\phi\left(z\right)dz\)
ここで、
\(\displaystyle \int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} \mu\phi(z)dz\)
\(=\displaystyle \mu \left(1-\Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)\right)\)
\(=\displaystyle \mu (1-\alpha)A(0)\) ([4]の途中式を利用した)
また、
\(\displaystyle\int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} \sigma z\phi\left(z\right)dz\)は
\(\displaystyle \phi(z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\)なので、
\(\displaystyle = \sigma [-\phi(z)]^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}}\)\(\displaystyle = \sigma \phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)\)
以上より、
\(E[T|T>c]\)\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\int^\infty_{\frac{c-\mu}{\sigma}} (\mu+\sigma z)\phi\left(z\right)dz\)
\(=\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha)A(0)}\left\{\mu (1-\alpha)A(0) +\sigma \phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right) \right\}\)
\(=\mu\)\(+\displaystyle \frac{\sigma \phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)}{(1-\alpha)A(0)}\)
\(c = \mu + \sigma\Phi^{-1}(1-(1-\alpha)A(0))\)を代入して、
\(=\mu\)\(+\displaystyle \frac{\sigma \phi\left(\Phi^{-1}(1-(1-\alpha)A(0))\right)}{(1-\alpha)A(0)}\)
コメント