[1]
帰無仮説の下で\(\displaystyle \bar{X} \sim N(0,1/n)\)なので、\(P\)-値は、
(\(P\)-値) \(= \displaystyle P\left(Z > \frac{\bar{x}}{1/\sqrt{n}}\right)\)
\(= \displaystyle Q\left( \frac{\bar{x}}{1/\sqrt{n}}\right)\)\(= \displaystyle Q(\sqrt{n}\bar{x})\)
\(n,\bar{x}\)および、標準正規分布表より\(P\)-値を計算出来る。
また、グラフを書く際は、\(\bar{x}\)が大きくなるにつれて(\(P\)-値)の変化は小さくなるので公式の解答のように\(0\)漸近し、下に凸で\(\bar{x}=0\)の時に\(0.5\)となるグラフを書けばよい。
[2]
(\(P\)-値) \(= \displaystyle P\left(Z > \frac{\bar{x}}{1/\sqrt{n}}\right)\)
\(\displaystyle = 1- \Phi(\sqrt{n}\bar{x})\)
(\(P\)-値)\(< \alpha\)とすると、
\(\displaystyle 1- \Phi(\sqrt{n}\bar{x})< \alpha\)
\(\displaystyle \iff \Phi(\sqrt{n}\bar{x})> 1-\alpha\)
\(\displaystyle \iff \sqrt{n}\bar{x}> \Phi^{-1}(1-\alpha)\)
\(\displaystyle \iff \sqrt{n}\bar{x}> z_\alpha\)
\(\displaystyle \iff\bar{x}> z_\alpha \frac{1}{\sqrt{n}}\)
[3]
対立仮説の下\(\displaystyle \bar{X} \sim N(\mu,1/n)\)で、
(検出力)\(\displaystyle = P\left(\bar{X} > z_\alpha \frac{1}{\sqrt{n}} \right)\)
\(\displaystyle =P(\sqrt{n}(\bar{X}-\mu) > z_\alpha – \sqrt{n}\mu)\)\(=Q(z_\alpha – \sqrt{n}\mu)\)
\(n,\mu\)を代入して、標準正規分布表を用いると検出力が求まる。
また、
(検出力)\(\displaystyle =P(\sqrt{n}(\bar{X}-\mu) > z_\alpha – \sqrt{n}\mu)\)\(=1-\Phi(z_\alpha – \sqrt{n}\mu)\)
\(=\displaystyle 1-\Phi\left( – \sqrt{n}\left(\mu -\frac{z_\alpha}{\sqrt{n}}\right)\right)\)
なので、標準正規分布の分布関数を\(y\)対象に移して、\(1\)を加えた後、\(x\)軸対象にして、\(x\)の正方向に\(\displaystyle \frac{z_\alpha}{\sqrt{n}}\)平行移動したようなグラフを書くとよい。\(\mu=0\)の時、検出力\(=1-\Phi(z_\alpha) = \alpha\)となるのでそれを軸上に明記すればよい。
[4]
[3]の検出力の導出を用いて、
(検出力)\(=Q(z_\alpha – \sqrt{n}\mu)>0.8\)
とし、\(Q(u) = 0.8\)となる\(u\)を\(u_{0.8}\)とすると、
\(z_\alpha – \sqrt{n}\mu < u_{0.08}\)(\(Q(u)\)は減少関数であるため不等号は逆になる)
\(\iff \displaystyle n > \left(\frac{z_\alpha – u_{0.8}}{\mu}\right)^2 \)
\(\mu\)および標準正規分布表を用いて\(n\)が求まる。
[5]
対立仮説を\(\mu=\mu_1 >0\)とすると、尤度比は
\(\displaystyle \lambda(\boldsymbol{x}) =\frac{f(\boldsymbol{x};\mu=\mu_1)}{f(\boldsymbol{x};\mu=0)}\)
\(\displaystyle = \frac{\prod^n_{i=1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -(x_i-\mu_1)^2/2\right]}{\prod^n_{i=1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -x_i^2/2\right]}\)
\(\displaystyle = \exp \left[ \mu_1 \bar{x} -\frac{n\mu_1^2}{2}\right]>c\)とすると、
\(\bar{x}>c’\)の形になるので、\(c’ = \displaystyle z_\alpha\frac{1}{\sqrt{n}}\)とすれは、優位水準\(\alpha\)の最強力検定となる。
コメント