[1]
\(E[X]\)\(=\displaystyle \int^\infty_0 xf_X(x)dx\)
\(= \displaystyle \int^\infty_0 xe^{-x}dx\)\(= 1\)
\(E[Y]\)\(\displaystyle =\int^1_0 yf_Y(y)dy\)
\(\displaystyle =\int^1_0ydy\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\)
[2]
\(E[XY]\)\(=E[X]E[Y]\)(独立のため)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
[3]
\(X,Y\)が独立の時、\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)が成り立つ。
\(X+Y=U,Y=V\)の変数変換を行うと、\(X=U-V,Y=V\)でヤコビアン\(||J||=1\)なので、
\(g(u,v)=f(u-v,v)\)
\(X+Y=U\)の確率密度関数は
\(g_U(u)\)\(\displaystyle=\int^{\infty}_{-\infty}f(u-v,v)dv\)
\(\displaystyle =\int^{\infty}_{-\infty}f_X(u-v)f_Y(v)dv\)
\(f_Y\)は\(0\sim1\)で\(1\)なので、
\(\displaystyle =\int^1_0f_X(u-v)dv\)
\(u\)を定数と見て、
\(f_X(u-v)=\left\{ \begin{array}{}e^{v-u} &(v>u)\\0&(v\leq u)\end{array}\right.\)
これは\(v=u\)で関数が変わるため、積分範囲と\(u\)の大小関係で場合分けが必要である。
\(\displaystyle \int^1_0f_X(u-v)dv\)
\(\displaystyle =\left\{ \begin{array}{} 0 &(u \leq 0)\\ \displaystyle\int^u_0 e^{v-u}dv&(0\leq u\leq 1)\\ \displaystyle\int^1_0 e^{v-u}dv&(1\leq u)\end{array}\right. \)
\(\displaystyle =\left\{ \begin{array}{} 0 &(u \leq 0)\\ \displaystyle 1-e^{-u}&(0\leq u\leq 1)\\ \displaystyle (e-1)e^{-u}&(1\leq u)\end{array}\right. \)
図示は省略。
[4]
\(Y=h(X)\)の変数変換をしていると見ると、\(Y\)の確率密度関数\(f_Y(y)\)に変数変換をすることで、\(X\)の確率密度関数\(f_X(x)\)を得られる。
ヤコビアンは\(||J||=h'(x)\)(単調増加関数のため、絶対値は不要)になるので、
\(f_X(x)=f_Y(h(x))h'(x)\)
\(x \leq 0\)の確率は\(0\)であるため、\(x > 0\)のみを考える。
\(x>0\)の時、\(f_X(x)=e^{-x}>0\)なので、右辺は、\(0<h(x)<1\)が必要で、この時、
\(e^{-x}=h'(x)\)となる。積分して、
\(h(x)=-e^{-x}+C\)
だが、\(x>0\)で\(0<h(x)<1\)なので、\(C=1\)となり、
\(h(x)=1-e^{-x}\)
\(Y\)は\(X\)に従属なので、\(X\)の確率密度関数のみを考えれば良く、
\(E[XY]\)\(\displaystyle =\int^{\infty}_0xyf_X(x)dx\)
\(\displaystyle =\int^{\infty}_0 x(1-e^{-x})e^{-x}dx\)
\(=\displaystyle \frac{3}{4}\)
\(h(x)\)導出の別解
\(h(x)\)は単調増加関数なので、
\(X \leq x \)\(\iff h (X) \leq h(x)\)
確率密度関数が与えられているので確率の表記にすると、
\(P(X \leq x)=P(h (X) \leq h(x))\)\(=P(Y \leq y)\)
\(f_X(x)\)と\(f_Y(y)\)を用いると、
\(P(X \leq x)=1-e^{-x}\)\(,P(Y\leq y) = y\)なので、\(y=1-e^{-x}\)
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