差の分散\(V[X-Y]\)の導出

はじめに

\(V[X-Y]\)の導出をよく忘れるのでまとめることにしました。

導出したいものは、独立な確率変数\(X,Y\)に対して、差\(X-Y\)の分散\(V[X-Y]\)です。

導出

\(V[X-Y]\)

\( =E[(X-Y)^2] – E[X-Y]^2\)

\(=E[X^2+Y^2-2XY]\)\(-(E[X]-E[Y])^2\)

\(=E[X^2]+E[Y^2]-2E[XY] \)\( -(\mu_X-\mu_Y)^2\)

\(=(\sigma_X^2+\mu_X^2) \)\( + (\sigma_Y^2+\mu_Y^2) \)\( -2\mu_X\mu_Y \)\( -(\mu_X-\mu_Y)^2 \)

\(=\sigma_X^2 \)\( +\sigma_Y^2\)