二項分布の再生性

統計

2021.12.022021.12.29

はじめに

確率分布には再生性というものがあります。

今回は簡単のために二項分布で再生性について考えていきます。

二項分布の再生性

$$X_1+X_2 \sim B(n_1+n_2,p)$$

ただし、$X_i \sim B(n_i,p)$

まず、

$P(X_1=x_1,X_2=x_2)$

$={}_{n_1}C_{x_1}p^{x_1}(1-p)^{n_1-x_1}$$ \times {}_{n_2}C_{x_2}p^{x_2}(1-p)^{n_2-x_2} $

が成り立ちます。

ここで、$Y=X_1+X_2,Z=X_2$すなわち、$X_1=Y-Z,X_2=Z$の変数変換をすると、

$P(Y=y,Z=z)$

$={}_{n_1}C_{y-z}p^{y-z}(1-p)^{n_1-(y-z)} $$ \times {}_{n_2}C_{z}p^{z}(1-p)^{n_2-z} $

よって、

$P(Y=y)$

$\displaystyle =\sum_{z=0}^{y} {}_{n_1}C_{y-z}p^{y-z}(1-p)^{n_1-(y-z)} $$\times {}_{n_2}C_{z}p^{z}(1-p)^{n_2-z} $

$\displaystyle =\sum_{z=0}^{y} {}_{n_1}C_{y-z}{}_{n_2}C_{z}p^{y}(1-p)^{n_1+n_2-y}$

$\displaystyle ={}_{n_1+n_2}C_{y}p^{y}(1-p)^{n_1+n_2-y}$

最後の式変形は「朱ファンデルモンドの等式」を使えば変形出来ます。

この等式は$(1+x)^{m+n}$を2通りで展開して、係数比較をすれば証明出来るみたいです。

$E[s^{X_1+X_2}]$

$=E[s^{X_1}] E[s^{X_2}](X_1,X_2は独立) $

$=(1-p+sp)^{n_1} (1-p+sp)^{n_2} $

$= (1-p+sp)^{n_1+n_2} $

これは$B(n_1+n_2,p)$の確率母関数なので、$ X_1+X_2 \sim B(n_1+n_2,p) $が言えます。