負の二項分布の確率母関数

はじめに

負の二項分布の確率母関数を導出したのでまとめます。

負の二項分布は次のような条件で現れます。

成功確率\(p\)の事象を\(r\)回成功するまでの失敗の回数\(x\)は負の二項分布\(NB(r,p)\)に従う。

確率密度関数は下のようになります。

負の二項分布の確率母関数を導出していきます。

確率母関数の導出

確率母関数\(G(s;r,p)\)

\(=E[s^X]\)

\(=\displaystyle \sum_{x=0}^\infty s^x {}_{x+r-1}C_xp^r(1-p)^x \)

\(=\displaystyle p^r \sum_{x=0}^\infty {}_{x+r-1}C_x((1-p)s)^x \)

\(p\)と\((1-p)s\)で指数部が異なるのは、自分で調整出来るという点でかなりラッキーです。

二項分布の場合の期待値計算では、よく\(\sum\)内を確率密度関数の形にして、その和は\(1\)だというような計算をするので、それに倣ってみます。

\(\sum\)内が\( {}_{x+r-1}C_xp^r(1-p)^x \)の様な形にすると、

\(\displaystyle p^r \sum_{x=0}^\infty {}_{x+r-1}C_x((1-p)s)^x \)

\(=\displaystyle \frac{p^r}{ (1-(1-p)s)^r }\)\(\displaystyle \times \sum_{x=0}^\infty {}_{x+r-1}C_x(1-(1-p)s)^r((1-p)s)^x \)

\(=\displaystyle \left(\frac{p}{ 1-(1-p)s } \right)^r \)\(\displaystyle \times \sum_{x=0}^\infty {}_{x+r-1}C_x(1-(1-p)s)^r((1-p)s)^x \)

\(\sum\)内は、「成功確率\((1-(1-p)s)\)の事象を\(r\)回成功するまでの失敗の回数\(x\)の確率の全ての和」で\(1\)になるので

\(=\displaystyle \left(\frac{p}{ 1-(1-p)s } \right)^r \)

以上より