[1]
\(M_Z(t)=E[e^{tZ}]\)
\(=E[e^{t(a+kX+Y)}]\)
\(=e^{ta}E[e^{(tk)X)}]E[e^{tY}]\)(\(X,Y\)が独立のため)
\(=e^{ta}M_{X}(tk)M_Y(t)\)
\(\displaystyle =e^{ta}e^{\frac{1}{2}(tk)^2}e^{\frac{1}{2}t^2}\)
\(\displaystyle =e^{at+\frac{k^2+1}{2}t^2}\)
よって、\(Z \sim N(a,k^2+1)\)
[2]
相関係数\(\rho\)は、
\(\displaystyle \rho=\frac{Cov(X,Z)}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Z]}}\)
\(Cov(X,Z)=Cov(X,a+kX+Y)\)
\(=E[X(a+kX+Y)]-E[X]E[a+kX+Y]\)
\(=aE[X]+kE[X^2]-aE[X]-kE[X]^2\)
\(=k(E[X^2]-E[X]^2)\)\(=kV[X]\)\(=k\)
よって、
\(\displaystyle \rho=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}\)
[3]
\(M_Z(t)=E[e^{tZ}]\)
\(=E[e^{t(a+kx+Y)}]\)
\(=e^{t(a+kx)}E[e^{tY}]\)
\(=e^{t(a+kx)}M_Y(t)\)
\(\displaystyle =e^{t(a+kx)}e^{\frac{1}{2}t^2}\)
\(\displaystyle =e^{(a+kx)t+\frac{1}{2}t^2}\)
よって、\(Z|X=x \sim N(a+kx,1)\)
[4]
\(M_X(t)=E[e^{tX}]\)
\(\displaystyle =E[e^{\frac{z-a-Y}{k}t}]\)
\(\displaystyle =e^{\frac{z-a}{k}t}E[e^{-\frac{Y}{k}t}]\)
\(\displaystyle =e^{\frac{z-a}{k}t}M_{-\frac{Y}{k}}(t)\)
\(\displaystyle =e^{\frac{z-a}{k}t}e^{\frac{1}{2k^2}t^2}\cdots\)
このようにしてはいけませんね。\(Z=z\)が与えられた時点で\(Y|Z\)は標準正規分布に従うとは限らないからです。[3]の誘導を上手く使ってベイズ法で解きます。
\(f(x|z)\propto f(z|x)f(x)\)
\(\displaystyle \propto \exp\left[-\frac{(z-kx-a)^2}{2}\right]\exp\left[-\frac{x^2}{2}\right]\)
指数部分を平方完成して、
\(\displaystyle \propto \exp\left[-\frac{(k^2+1)\left( x^2-2\frac{k(z-a)}{k^2+1}x\right)}{2}\right]\)
\(\displaystyle \propto \exp\left[-\frac{\left( x-\frac{k(z-a)}{k^2+1}\right)^2}{2\frac{1}{k^2+1}}\right]\)
よって、
\(X|Z=z \)\(\displaystyle \sim N\left(\frac{k(z-a)}{k^2+1},\frac{1}{k^2+1}\right)\)
