統計検定 1級 2017年 統計数理 問4 解答 解説

[1]

\(M_Z(t)=E[e^{tZ}]\)

\(=E[e^{t(a+kX+Y)}]\)

\(=e^{ta}E[e^{(tk)X)}]E[e^{tY}]\)(\(X,Y\)が独立のため)

\(=e^{ta}M_{X}(tk)M_Y(t)\)

\(\displaystyle =e^{ta}e^{\frac{1}{2}(tk)^2}e^{\frac{1}{2}t^2}\)

\(\displaystyle =e^{at+\frac{k^2+1}{2}t^2}\)

よって、\(Z \sim N(a,k^2+1)\)

[2]

相関係数\(\rho\)は、

\(\displaystyle \rho=\frac{Cov(X,Z)}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Z]}}\)

\(Cov(X,Z)=Cov(X,a+kX+Y)\)

\(=E[X(a+kX+Y)]-E[X]E[a+kX+Y]\)

\(=aE[X]+kE[X^2]-aE[X]-kE[X]^2\)

\(=k(E[X^2]-E[X]^2)\)\(=kV[X]\)\(=k\)

よって、

\(\displaystyle \rho=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}\)

[3]

\(M_Z(t)=E[e^{tZ}]\)

\(=E[e^{t(a+kx+Y)}]\)

\(=e^{t(a+kx)}E[e^{tY}]\)

\(=e^{t(a+kx)}M_Y(t)\)

\(\displaystyle =e^{t(a+kx)}e^{\frac{1}{2}t^2}\)

\(\displaystyle =e^{(a+kx)t+\frac{1}{2}t^2}\)

よって、\(Z|X=x \sim N(a+kx,1)\)

[4]

\(M_X(t)=E[e^{tX}]\)

\(\displaystyle =E[e^{\frac{z-a-Y}{k}t}]\)

\(\displaystyle =e^{\frac{z-a}{k}t}E[e^{-\frac{Y}{k}t}]\)

\(\displaystyle =e^{\frac{z-a}{k}t}M_{-\frac{Y}{k}}(t)\)

\(\displaystyle =e^{\frac{z-a}{k}t}e^{\frac{1}{2k^2}t^2}\cdots\)

このようにしてはいけませんね。\(Z=z\)が与えられた時点で\(Y|Z\)は標準正規分布に従うとは限らないからです。[3]の誘導を上手く使ってベイズ法で解きます。

\(f(x|z)\propto f(z|x)f(x)\)

\(\displaystyle \propto \exp\left[-\frac{(z-kx-a)^2}{2}\right]\exp\left[-\frac{x^2}{2}\right]\)

指数部分を平方完成して、

\(\displaystyle \propto \exp\left[-\frac{(k^2+1)\left( x^2-2\frac{k(z-a)}{k^2+1}x\right)}{2}\right]\)

\(\displaystyle \propto \exp\left[-\frac{\left( x-\frac{k(z-a)}{k^2+1}\right)^2}{2\frac{1}{k^2+1}}\right]\)

よって、

\(X|Z=z \)\(\displaystyle \sim N\left(\frac{k(z-a)}{k^2+1},\frac{1}{k^2+1}\right)\)

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