[1]
\(v=z^2\)より、\(z=\pm \sqrt{v}\)だが、\(z \geq 0\)のみで考えると、\(z=\sqrt{v}\)
\(\displaystyle dz=\frac{1}{2\sqrt{v}}dv\)で、\(Z\)の範囲を半分にしている分、\(Z\)の確率密度関数を2倍にしたもので考えて、
\(f(v)=2\varphi(\sqrt{v})\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{v}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{v}}e^{-\frac{v}{2}}\)
[2]
\(\displaystyle S=\frac{X}{Y},T=Y\)とすると、\(X=ST,Y=T\)で、ヤコビアン\(||J||=t\)
\(S,T\)の同時確率密度関数\(g(s,t)\)は、
\(g(s,t)=f(st)f(t)t\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{st}}e^{-\frac{st}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{t}{2}}t\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{s}}e^{-\frac{(s+1)t}{2}}\)
\(\displaystyle g(s)=\int^\infty_0 g(s,t)dt\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{s}}e^{-\frac{(s+1)t}{2}}dt\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{s}}\left[-\frac{2}{s+1}e^{-\frac{(s+1)t}{2}}\right]_0^\infty\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\pi(1+s)\sqrt{s}}\)
[3]
\(\displaystyle T=\frac{X-Y}{2\sqrt{XY}}\)\(\displaystyle =\frac{\frac{X}{Y}-1}{2\sqrt{\frac{X}{Y}}}\)
\(\displaystyle =\frac{S-1}{2\sqrt{S}}\) (問題文のヒントより)
さらに問題文のヒントを使うと、
\(\displaystyle t=\frac{s-1}{2\sqrt{s}}\)
\(\displaystyle =\frac{\tan^2\theta-1}{2\sqrt{\tan^2\theta}}\)
\(\displaystyle =\frac{\tan^2\theta-1}{2\tan\theta}\)(\(\tan\theta\geq 0\)すなわち\(0 \leq \theta < \pi/2\)の時)
\(\displaystyle =-\frac{1}{\tan 2\theta}\)(\(\tan \theta\)の加法定理)
なので、
\(\displaystyle \theta=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(-\frac{1}{t}\right)\)
\(\theta\)の確率密度関数を求める必要がある。\(\theta\)の確率密度関数\(i(\theta)\)は、
\(\displaystyle ds=2\tan\theta \frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\)より、
\(\displaystyle i(\theta)=g(\tan^2\theta)2\tan\theta \frac{1}{\cos^2\theta}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\pi(1+\tan^2\theta)\sqrt{\tan^2\theta}}2\tan\theta \frac{1}{\cos^2\theta}\)
\(0 \leq \theta < \pi/2\)の下で、
\(\displaystyle =\frac{2}{\pi}\)
最後に\(T\)の確率密度関数を求める。
\(\displaystyle d\theta=\frac{1}{2} \frac{1}{1+\left(-\frac{1}{t}\right)^2}\frac{1}{t^2}dt\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2(1+t^2)}dt\)
よって、
\(\displaystyle h(t)=i(\theta)\frac{1}{2(1+t^2)}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{\pi}\frac{1}{2(1+t^2)}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\pi(1+t^2)}\)
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