[1]
期待値は、
\(E[X]=\displaystyle \int^\infty_0xf(x)dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
\(\ln x=y\)と変数変換をして、
\(\displaystyle =\int^\infty_{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma}e^y e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}dy\)
\(\displaystyle =E[e^Y]\)
\(\displaystyle =\left . e^{\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t^2}\right|_{t=1}\)
\(\displaystyle =e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)(正規分布のモーメント母関数を利用した)
中央値は、
\(P(X \leq \rm{median})=0.5\)
\(P(\ln X \leq \ln (\rm{median}))=0.5\)
\(\ln X \sim N(\mu ,\sigma^2)\)なので、\(\ln (\rm{median}) =\mu\)
よって、\(\rm{median} = e^\mu\)
最頻値は、
\(\displaystyle \ln f(x)=-\ln \sqrt{2 \pi}\sigma -\ln x -\frac{(\ln x -\mu)^2}{2\sigma^2}\)
\(x\)で微分して、
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{1}{x}-\frac{\ln x -\mu}{\sigma^2 x}\)\(=0\)として、
\(x=mode=e^{\mu-\sigma^2}\)
以上より、
\(mode < median < E[X]\)
[2]
対数尤度関数\(l\)は、
\(\displaystyle l=\ln \prod_{i=1}^nf(x_i)\)
\(\displaystyle =\sum_{i=1}^n \ln f(x_i)\)
\(\displaystyle =\sum_{i=1}^n \left(\ln \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\right . \)\(\displaystyle -\ln x_i \)\(\displaystyle -\left .\frac{(\ln x_i -\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dl}{d \mu}=\sum_{i=1}^n \frac{\ln x_i-\mu}{\sigma^2}\)\(=0\)として、
\(\displaystyle \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i\)
[3]
\(f(\mu|\boldsymbol{x}) \propto f(\boldsymbol{x}|\mu)f(\mu)\)
\(\displaystyle \propto \left(\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\frac{1}{x_i}e^{-\frac{(\ln x_i – \mu)^2}{2\sigma^2}}\right)\)\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\mu-\nu)^2}{2 \tau^2}}\)
\(\displaystyle \propto \exp \left[-\frac{\sum_{i=1}^n (\mu- \ln x_i)^2}{2\sigma^2}\right]\exp\left[-\frac{(\mu-\nu)^2}{2 \tau^2}\right]\)
\(\displaystyle \propto \exp \left[-\frac{\sum_{i=1}^n (\mu- \ln x_i)^2}{2\sigma^2}-\frac{(\mu-\nu)^2}{2 \tau^2}\right]\)
指数部分を平方完成すると、
\(\displaystyle -\frac{\sum_{i=1}^n (\mu- \ln x_i)^2}{2\sigma^2}-\frac{(\mu-\nu)^2}{2 \tau^2}\)
\(\displaystyle =-\frac{ (\sigma^2+n\tau^2)\left \{\mu^2-2\frac{\sigma^2\nu+\tau^2\sum_{i=1}^n\ln x_i}{\sigma^2+n\tau^2}\mu\right\}}{2\sigma^2\tau^2}\)
よって、\(\mu\)の事後分布は、\(\displaystyle N\left(\frac{\sigma^2\nu+\tau^2\sum_{i=1}^n\ln x_i}{\sigma^2+n\tau^2},\frac{\sigma^2\tau^2}{\sigma^2+n\tau^2}\right)\)
[4]
\(\hat{\mu}=7.72\)で
\(E[X]=e^{7.72+\frac{0.25^2}{2}}\)\(=e^7\times e^{0.75125}\)
\(median=e^{7.72}=e^7 \times e^{0.72}\)
\(mode=e^{7.72-0.5^2}\)\(=e^7 \times e^{0.6575}\)
これらを付表を用いて計算する(どれも答えと微妙にずれてしまったけど)。
[5]
\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \ln x_i=7.72\times 10\)\(,\sigma =0.25^2\)\(,\nu=8\)\(,\tau^2=0.5^2\)を\(\displaystyle \frac{\sigma^2\nu+\tau^2\sum_{i=1}^n\ln x_i}{\sigma^2+n\tau^2}\)に代入して、\(\mu\)の事後期待値を得る。
[6]
統計的な特徴と言われても何を述べればよいのか分からなかったため、とりあえず公式の解答の各分散を導出します。
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nx_i\)とした時、
\(\displaystyle V[\bar{X}]=V\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nx_i\right]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n}V[X]\)
ここで、
\(E[X^2]=e^{2\mu+2\sigma^2}\)([1]の正規分布のモーメント母関数を利用する所で\(t=2\)とした)
なので、
\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)
\(\displaystyle =e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}\)
\(\displaystyle =e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)
よって、
\(\displaystyle V[\bar{X}]=\frac{1}{n}e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)
次に、[4]では\(\displaystyle E[X]=e^{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i+\frac{\sigma^2}{2}}\)としている。
この\(E[X]\)を\(\hat{X}\)とすると、
\(V[\hat{X}]\)\(\displaystyle =V[e^{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln X_i+\frac{\sigma^2}{2}}]\)
\(\displaystyle =V[e^{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i+\frac{\sigma^2}{2}}]\)(簡単のため\(\ln X_i=Y_i\)と変数変換した)
\(\displaystyle =e^{\sigma^2}V[e^{\bar{Y}}]\)
ここで\(\displaystyle \bar{Y}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)なのでデルタ法により、
\(\displaystyle e^{\bar{Y}}\sim N(e^\mu,\frac{\sigma^2e^{2\mu}}{n})\)
よって、
\(\displaystyle V[\hat{X}]=e^{\sigma^2}V[e^{\bar{Y}}]\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma^2 e^{2\mu+\sigma^2}}{n}\)
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