[1]
\(E[W]\)
\(\displaystyle E[W] = \int^\infty_0 w \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} w ^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
\(\displaystyle = \int^\infty_0 \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} w ^{\frac{k}{2}}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
\(w\)の指数部分が\(\displaystyle w^{\frac{〇}{2}-1}\)の形になるようにし、
\(\displaystyle = \int^\infty_0 \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} w ^{\frac{k+2}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
\(\displaystyle = \frac{2^{\frac{k+2}{2}}\Gamma \left(\frac{k+2}{2}\right)}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}\)\(\displaystyle\times\int^\infty_0 \frac{1}{2^{\frac{k+2}{2}}\Gamma \left(\frac{k+2}{2}\right)} w ^{\frac{k+2}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
積分部分は自由度\(k+2\)のカイ二乗分布の全確率\(1\)なので、
\( = k\)
\(E[1/W]\)
\(\displaystyle E[1/W] = \int^\infty_0 \frac{1}{w} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} w ^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
\(\displaystyle = \int^\infty_0 \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} w ^{\frac{k}{2}-2}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
\(w\)の指数部分が\(\displaystyle w^{\frac{〇}{2}-1}\)の形になるようにし、
\(\displaystyle = \int^\infty_0 \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} w ^{\frac{k-2}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
\(\displaystyle = \frac{2^{\frac{k-2}{2}}\Gamma \left(\frac{k-2}{2}\right)}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}\)\(\displaystyle \times \int^\infty_0 \frac{1}{2^{\frac{k-2}{2}}\Gamma \left(\frac{k-2}{2}\right)} w ^{\frac{k-2}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}dw\)
積分部分は自由度\(k-2\)のカイ二乗分布の全確率\(1\)なので、
\( = \displaystyle \frac{1}{k-2}\)
ただし、自由度\(k-2\)が登場するため、\(k \geq 3\)の範囲での期待値である。
[2]
難しすぎて作成頓挫中。
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