[1]
累積分布関数を微分して確率密度関数を得る。
\(F_1(Y_1 \leq y)\)は、少なくとも1つは\(y\)以下となる確率で、余事象を考えると、
\(F_1(Y_1 \leq y)=1-(1-y)^3\)
\(f_1(y)=\displaystyle \frac{d}{dy}F_1(y)\)
\(=3(1-y)^2\)
\(F_3(Y_3 \leq y)\)は3つとも\(y\)以下となる確率で、
\(F_3(Y_3 \leq y)=y^3\)
\(f_3(y)=\displaystyle \frac{d}{dy}F_3(y)\)
\(=3y^2\)
\(E[Y_1]=\displaystyle \int^1_0 yf_1(y)dy\)\( \displaystyle =\int^1_0 3y(1-y)^2dy\)\(\displaystyle =\frac{1}{4}\)
\(E[Y_3]=\displaystyle \int^1_0 yf_3(y)dy\)\( \displaystyle =\int^1_0 3y^3dy\)\(\displaystyle =\frac{3}{4}\)
[2]
\(F_2(Y_2 \leq y)\)は、3つとも\(y\)以下の確率と2つは\(y\)以下で1つは\(y\)以上となる確率の和で、前者の確率は\(y^3\)、後者の確率は\({}_3C_1(1-y)y^2\)なので
\(F_2(Y_2 \leq y)=y^3\)\(+3y^2(1-y)\)
\(=(3-2y)y^2\)
\(f_2(y)=\displaystyle \frac{d}{dy}F_2(y)\)
\(=6y(1-y)\)
\(P(Y_2 < 0.5)=F_2(Y_2 \leq 0.5)\)
\(=(3-2\cdot 0.5)\cdot0.5^2\)\(=0.5\)
[3]
\(E[Z]=E[Y_3]-E[Y_1]\)\(\displaystyle =\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\)\( \displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(V[Z]=V[Y_1]+V[Y_3]-2Cov[Y_1,Y_3]\)
\(E[Y_1^2]=\displaystyle \int^1_0 y^2f_1(y)dy\)\( \displaystyle =\int^1_0 3y^2(1-y)^2dy\)\(\displaystyle =\frac{1}{10}\)
\(V[Y_1]=E[Y_1^2]-E[Y_1]^2\)\(=\displaystyle \frac{1}{10}-\left(\frac{1}{4}\right)^2\)\(=\displaystyle \frac{1}{10}-\frac{1}{16}\)
\(E[Y_3^2]=\displaystyle \int^1_0 y^2f_3(y)dy\)\( \displaystyle =\int^1_0 3y^4dy\)\(\displaystyle =\frac{3}{5}\)
\(V[Y_3]=E[Y_3^2]-E[Y_3]^2\)\(=\displaystyle \frac{3}{5}-\left(\frac{3}{4}\right)^2\)\(=\displaystyle \frac{3}{5}-\frac{9}{16}\)
\(Cov[Y_1,Y_3]=E[Y_1Y_3]-E[Y_1]E[Y_3]\)
\(Y_1,Y_3\)の同時確率密度関数を考える。
\(F_{1,3}(Y_1 \leq y_1,Y_3 \leq y_3)\)は、1つが\(y_1\)以下で2つが\(y_1\)以上\(y_3\)の確率と2つが\(y_1\)以下で1つが\(y_1\)以上\(y_3\)の確率と3つとも\(y_1\)以下の確率の和である。
1つが\(y_1\)以下で2つが\(y_1\)以上\(y_3\)の確率は、\({}_3C_1y_1(y_3-y_1)^2\)
2つが\(y_1\)以下で1つが\(y_1\)以上\(y_3\)の確率は、\({}_3C_2y_1^2(y_3-y_1)\)
3つとも\(y_1\)以下の確率は、\(y_1^3\)なので、
\(F_{1,3}(Y_1 \leq y_1,Y_3 \leq y_3)\)
\(=3y_1(y_3-y_1)^2+3y_1^2(y_3-y_1)\)\(+y_1^3\)
\(f_{1,3}(y_1,y_3)\)\(=\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y_1 \partial y_3}F_{1,3}(Y_1 \leq y_1,Y_3 \leq y_3)\)
\(=\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y_1 \partial y_3}(3y_1(y_3-y_1)^2\)\(+3y_1^2(y_3-y_1)\)\(+y_1^3)\)
\(=6(y_3-y_1)\)
\(E[Y_1Y_3]\)\(=\displaystyle \int^1_0 \int^{y_3}_0y_1y_3f_{1,3}(y_1,y_3)dy_1dy_3\)
\(\displaystyle =6\int^1_0 \int^{y_3}_0y_1y_3(y_3-y_1)dy_1dy_3\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\)
よって、
\(Cov[Y_1,Y_3]=E[Y_1Y_3]-E[Y_1]E[Y_3]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\)\(\displaystyle =\frac{1}{5}-\frac{3}{16}\)
以上より、
\(V[Z]=V[Y_1]+V[Y_3]-2Cov[Y_1,Y_3]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{10}-\frac{1}{16}\)\(\displaystyle + \frac{3}{5}-\frac{9}{16}\)\(\displaystyle -2\left(\frac{1}{5}-\frac{3}{16}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{20}\)
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