[1]
\(\boldsymbol{y}’\)を\(\boldsymbol{y}\)の平均ベクトルとすると、
\(V[\boldsymbol{y}]\)\(=E[(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\mu}’)(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\mu}’)^T]\)
\(X\sim N(0,1)\)で\(\boldsymbol{x}\)の平均ベクトルは\(\boldsymbol{0}\)なので、\(\boldsymbol{y}’\)も\(\boldsymbol{0}\)となり、
\(V[\boldsymbol{y}]\)\(=E[\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^T]\)
\(=E[L\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^TL^T]\)
\(=LE[\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T]L^T\)
\(=LV[\boldsymbol{x}]L^T\)
\(X\sim N(0,1)\)より、\(V[\boldsymbol{x}]=I_n\)(単位行列)なので、
\(=LL^T\)
[2]
\(L\boldsymbol{x}\)と\(M\boldsymbol{x}\)が独立とは、\((L\boldsymbol{x})_i,(M\boldsymbol{x})_j\)(各ベクトルの要素を表す)の共分散がすべて0だということである。
\(L\boldsymbol{x}\)と\(M\boldsymbol{x}\)の平均ベクトルはどちらも\(\boldsymbol{0}\)で、すべての\((i,j)\)の組み合わせに対して共分散が0だということは、次の行列が\(\boldsymbol{0}\)になればよい。
\(E[L\boldsymbol{x}(M\boldsymbol{x})^T]=\boldsymbol{0}\)
\(E[L\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^TM^T]=\boldsymbol{0}\)
\(LI_nM^T=\boldsymbol{0}\)
\(LM^T=\boldsymbol{0}\)
[3]
[2]と同様に考えると、
\(E[(L\boldsymbol{x}-AM\boldsymbol{x})(M\boldsymbol{x})^T]\)\(=\boldsymbol{0}\)
\(E[(L\boldsymbol{x}-AM\boldsymbol{x})\boldsymbol{x}^TM^T]\)\(=\boldsymbol{0}\)
\(E[L\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^TM^T-AM\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^TM^T]\)\(=\boldsymbol{0}\)
\(LM^T-AMM^T\)\(=\boldsymbol{0}\)
\(AMM^T=LM^T\)
\(rank(M)=m\)で\(MM^T\)は\((m\times m)\)で逆行列を持ち、
\(A=LM^T(MM^T)^{-1}\)
[4]
[3]で得られた条件\(AMM^T=LM^T\)について、\(rank(M)\)に関わらず、等式を満たす\(A\)は存在する。
[4]はこれ以上説明を加えることが出来ませんでした。
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