[1]
\(G_X'(t)=E[Xt^{X-1}]\)より、\(t=1\)として、
\(E[X]=G_X'(1)\)
\(G_X”(t)=E[X(X-1)t^{X-2}]\)より、\(t=1\)として、
\(E[X(X-1)]=G_X”(1)\)
\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)
\(=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2\)
\(=G_X”(1)+G_X'(1)-\{G_X”(1)\}^2\)
[2]
\(G_X(t)=E[t^X]\)
\(=\displaystyle \sum^n_{k=0} t^k{}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)
\(=\displaystyle \sum^n_{k=0}{}_nC_k(pt)^k(1-p)^{n-k}\)
\(=(pt+1-p)^n\)(二項定理の逆)
\(G_X'(1)\)\( =n(pt+1-p)^{n-1}p|_{t=1}\)
\(=np\)
\(G_X”(1)\)\( =n(n-1)p^2(pt+1-p)^{n-2}|_{t=1}\)
\(=n(n-1)p^2\)
[1]の結果から、
\(E[X]=np\)
\(V[X]=n(n-1)p^2+np-(np)^2\)
\(=np(1-p)\)
[3]
問題部のヒントを使う。
\(G_X(t)=\displaystyle \sum_k t^kP(X=k)\)
\(=\displaystyle \sum_{k\leq r}t^kP(X=k)\)\(+\displaystyle \sum_{k > r}t^kP(X=k)\)
これを用いると、証明すべき不等式について、
\((右辺)-(左辺)\)
\(=\displaystyle \sum_{k\leq r}t^{k-r}P(X=k)\)\(+\displaystyle \sum_{k > r}t^{k-r}P(X=k)\)\(-P(X\leq r)\)
\(=\displaystyle \sum_{k\leq r}t^{k-r}P(X=k)\)\(+\displaystyle \sum_{k > r}t^{k-r}P(X=k)\)\(-\displaystyle \sum_{k\leq r}P(X= k)\)
\(=\displaystyle \sum_{k\leq r}(t^{k-r}-1)P(X=k)\)\(+\displaystyle \sum_{k > r}t^{k-r}P(X=k)\)
\(0<t\leq 1\)に対して、\(k\leq r\)の時、\(t^{k-r}-1 \geq 1\)なので、
\(=\displaystyle \sum_{k\leq r}(t^{k-r}-1)P(X=k)\)\(+\displaystyle \sum_{k > r}t^{k-r}P(X=k)\)\(\geq 0\)
よって不等式は示された。
[4]
[3]の不等式で、\(r=an,G_X(t)=(pt+1-p)^n\)とすると、
\(P(X \leq an) \leq t^{-an}(pt+1-p)^n\)
[3]では、すべての\(0<t\leq 1\)に対してこの不等式が成り立つため、\(0<t\leq 1\)で右辺が最小になる場合でも不等式は成り立つ。
右辺の最小値を求める。
\(f(t)=t^{-an}(pt+1-p)^n\)とすると、
\(\ln f(t)\)\(=-an\ln t +n\ln(pt+1-p)\)
\(\displaystyle \frac{d \ln f(t)}{dt}\)\(\displaystyle =-\frac{an}{t}+\frac{np}{pt+1-p}\)\(=0\)として、
\(t=\displaystyle \frac{a(1-p)}{p(1-a)}\)
右辺の最小値は、
\(\displaystyle f\left(\frac{a(1-p)}{p(1-a)}\right)\)\(\displaystyle =\left(\frac{p}{a}\right)^{an}\left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{(1-a)n}\)
よって、不等式は証明された。
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