『統計学』第1章練習問題問1.3[1]

統計

2021.11.242021.12.29

はじめに

統計検定1級対応のテキスト『統計学』の第1章練習問題問1.3[1]を解きました。

難しかったため、自分用に解説を残しておきます。

解き方は、以下のサイトを参考にして、自分の解きやすい方法にアレンジしました。

数学的な厳密さに欠ける部分もあると思いますが、ご了承ください。

問題の概要のみ載せます。

まず目標は$U$の確率密度関数を出すことなので、$U$の累積分布関数を出すことが目標になります。

これは、『統計学』の第1章で散々出てきますが、確率密度関数を出したいときは、累積分布関数を微分して出す方法です。

$U$の累積分布関数$F_U(u)$は下のようになります。

$F_U(u)=P(U\leq u)$

ここで詰まっちゃいそうですが、問題文で使えそうな式と言えば、

$U=F_Z(Z)$

です。これを使うと、

$F_U(u)=P(U\leq u)$
$=P(F_Z(Z)\leq F_Z(z))$

ここまで来ましたが、またもや詰まってしまいます。

次に使っていない条件と言えば、「累積分布関数$F_Z(z)=P(Z\leq z)$は狭義単調増加」です。

これを書き換えていくと、

「累積分布関数$F_Z(z)=P(Z\leq z)$は狭義単調増加」
$\iff $「$z\geq z_0 \iff F_Z(z)\geq F_Z(z_0)$」
$\iff $「$f_Z(z) > 0$」

この中で使えそうなのは2つ目の条件でしょう。この条件を使うと、

$F_U(u)=P(U\leq u)$
$=P(F_Z(Z)\leq F_Z(z))$
$=P(Z\leq z)$
$=F_Z(z)$
$=u$

まさかの途中で$u$の定義式が出てきて、きれいに変形することが出来ました。

微分をして、

$$f_U(u)=1$$

を得ることが出来ました。

後付けになりますが、

$u=F_Z(z)=P(Z\leq z)$は確率を表すため、$0\leq u \leq 1$となり、$U$は区間$(0,1)$の一様分布になることが言えました。

「こんなの解けるか！」と思いました。