変数変換の確率密度関数

はじめに

変数変換後の確率密度関数を導出しました。

導出したのは以下の関数です。

数学科ではないので、論理的欠陥があるかもしれませんが、自分で理解するためのものなのでご了承ください。

導出

変数\(X\)が確率密度関数\(f(x)\)で表されるため、

\(\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int^a_{-a} f(x)dx=1 \cdots ①\)

関数\(g\)が逆関数を持つという条件で、\(y=g(x)\)で置換積分を行う。

積分範囲は、\(x:-a \to a\)の時、\(y:g(-a) \to g(a)\)

\(y=g(x)\)の両辺を\(x\)で微分して、

\(dy=g'(x)dx\)より、

\(dx=\displaystyle \frac{1}{g'(x)}dy\)\(= \displaystyle \frac{1}{g'(g^{-1}(y))}dy \)

①式は

\(\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int^{g(a)}_{g(-a)} \frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}dy =1 \)

ここで、関数gは逆関数をもつ、つまり1対1対応なので、単調増加または単調減少関数である。

単調減少の時、 \(g(a)<g(-a)\)なので上の式は次のように書き換えられる。

\(\displaystyle \lim_{a \to \infty} \int^{g(-a)}_{g(a)} \frac{f(g^{-1}(y))}{-g'(g^{-1}(y))}dy =1 \)

単調増加と単調減少を区別せずに\(a \to \infty\)を考えて

\(\displaystyle \int^{\infty}_{- \infty} \frac{f(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}dy =1 \)

これは\(Y\)の確率密度関数が\(\displaystyle \frac{f(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|} \) であることを表している。