[1]
\(X \sim B(n,\theta)\)で、
\(V[X]=n\theta(1-\theta)\)より、
\(\displaystyle V[\hat{\theta}_1]=V\left[\frac{X}{n}\right]\)
\(\displaystyle =\frac{\theta(1-\theta)}{n}\)\(\displaystyle \approx \frac{0.3413(1-0.3413)}{n}\)\(\displaystyle \approx \frac{0.2248}{n}\)
解答では\(\theta\)の真値を使ってるんですけど、\(\theta\)を推定するのが目的なのに、真値を使っていいんですかねえ。でも使わないと[3]以降の問題が解けません。最適(分散が最小になる)推定法を探すのが目的なら使ってもいいということなんでしょうか？
[2]
\(N(0,1)\)に従う乱数の絶対値が1以下になる確率は\(P(-1 \leq Z \leq 1)\)で、その確率は\(2\theta\)となり、\(Y \sim B(n,2\theta)\)。
\(V[Y]=2n\theta(1-2\theta)\)より、
\(\displaystyle V[\hat{\theta}_2]=V\left[\frac{Y}{2n}\right]\)
\(\displaystyle =\frac{\theta(1-2\theta)}{2n}\)\(\displaystyle \approx \frac{0.3413(1-2\cdot 0.3413)}{2n}\)\(\displaystyle \approx \frac{0.0542}{n}\)
[3]
\(\displaystyle V[\hat{\theta}_3]=V\left[\frac{1}{n\sqrt{2\pi}} \sum_{i=1}^n \exp\left[-\frac{U_i^2}{2}\right]\right]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n}V\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{U^2}{2}\right]\right]\)
ここで、
\(\displaystyle E\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{U^2}{2}\right]\right)^2\right]\)
\(\displaystyle =E\left[\frac{1}{2\pi} \exp\left[-U^2\right]\right]\)
\(\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{2\pi} \exp\left[-u^2\right]du\)
\(u=v/\sqrt{2}\)の変数変換を行うと、
\(\displaystyle =\int_0^\sqrt{2} \frac{1}{2\pi} \exp\left[-\frac{v^2}{2}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}dv\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_0^\sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{v^2}{2}\right]dv\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{\pi}}P(0 \leq Z \leq \sqrt{2})\)
以上より、
\(\displaystyle V[\hat{\theta}_3]\)\(\displaystyle =\frac{1}{n}V\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{U^2}{2}\right]\right]\)
\(\displaystyle = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2\sqrt{\pi}}P(0 \leq Z \leq \sqrt{2})-\theta^2 \right)\)\(\displaystyle \approx \frac{0.0024}{n}\)
\(P(0 \leq Z \leq \sqrt{2})\)は標準正規分布表を使って計算する。
[4]
\(\hat{\theta}_2\)に関しては、\(\displaystyle \frac{0.2248}{10000}=\frac{0.0542}{n_2}\)として、\(n_2=2411\)。
\(\hat{\theta}_3\)に関しては、\(\displaystyle \frac{0.2248}{10000}=\frac{0.0024}{n_3}\)として、\(n_3=102\)。
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