統計検定 1級 2018年 統計数理 問3 解答 解説

[1]

二項分布なので、

\(E[X]=n\theta\)

\(V[X]=n\theta(1-\theta)\)

[2]

\(P(X \geq 1)=1-P(X=0)\)

\(=1-(1-\theta)^n\)

\(P(X=x|X \geq 1)=\displaystyle \frac{P(X=x(x \geq 1))}{P(X \geq 1)}\)

より、証明された。

[3]

\(\eta(\theta)\)

\(\eta(\theta)=E[X|X \geq 1]\)

\(\displaystyle = \sum^n_{x=1}xh(x)\)

\(\displaystyle = \sum^n_{x=0}xh(x)-0\cdot h(0)\)

\(\displaystyle = \sum^n_{x=0}xh(x)\)

\(\displaystyle = \frac{\displaystyle \sum^n_{x=0}xp(x)}{1-(1-\theta)^n}\)

\(\displaystyle = \frac{E[X]}{1-(1-\theta)^n}\)

\(\displaystyle = \frac{n\theta}{1-(1-\theta)^n}\)

\(\xi(\theta)\)

\(\xi(\theta)=V[X|X \geq 1]\)

\(\displaystyle =E[X^2|X \geq 1]-E[X|X \geq 1]^2\)

\(\displaystyle =\sum^n_{x=1} x^2h(x)-\eta(\theta)^2 \)

\(\displaystyle =\sum^n_{x=0} x^2h(x)-\eta(\theta)^2 \)

\(\displaystyle =\sum^n_{x=0} \frac{x^2 p(x)}{1-(1-\theta)^n}-\eta(\theta)^2 \)

\(\displaystyle = \frac{V[X]+E[X]^2}{1-(1-\theta)^n}-\eta(\theta)^2 \)

\(\displaystyle = \frac{n\theta(1-\theta)+(n\theta)^2}{1-(1-\theta)^n}-\eta(\theta)^2 \)

\(\displaystyle = \frac{n\theta(1-\theta)+(n\theta)^2}{1-(1-\theta)^n}-\left(\frac{n\theta}{1-(1-\theta)^n}\right)^2 \)

\(\displaystyle = \frac{n\theta(1-\theta)}{1-(1-\theta)^n}-\frac{n^2\theta^2(1-\theta)^n}{(1-(1-\theta)^n)^2} \)

[4]

\(n=8\)を代入すると、方程式\(\eta(\theta)=2E[X]\)は、

\(\displaystyle \frac{8\theta}{1-(1-\theta)^8}=2\cdot 8 \theta\)

\((1-\theta)^8= 2^{-1}\)

\(\displaystyle \theta=1-2^{-\frac{1}{8}}\)

[5]

\(\boldsymbol{y}=[y_1,… ,y_n]^T\)の同時確率分布は、

\(h(\boldsymbol{y})\)\(=\displaystyle \prod^m_{i=1}\frac{{}_nC_{y_i}\theta^{y_i}(1-\theta)^{n-y_i}}{1-(1-\theta)^n}\)

\(\ln h(\boldsymbol{y})\)\(=\displaystyle \sum^m_{i=1}(\ln {}_nC_{y_i}\)\(+y_i\ln \theta \)\(+(n-y_i)\ln (1-\theta)) \)\(-m\ln (1-(1-\theta)^n)\)

\(\ln h(\boldsymbol{y})\)\(=\displaystyle \sum^m_{i=1}(\ln {}_nC_{y_i})\)\(+m\bar{y}\ln \theta \)\(+m(n-\bar{y})\ln (1-\theta) \)\(-m\ln (1-(1-\theta)^n)\)

\(\displaystyle \frac{\partial \ln h(\boldsymbol{y})}{\partial \theta}=\frac{m\bar{y}}{\theta}-\frac{m(n-\bar{y})}{1-\theta}\)\(\displaystyle-\frac{mn(1-\theta)^{n-1}}{1-(1-\theta)^n}\)

\(=0\)としてまとめると、

\(n\theta=\bar{y}(1-(1-\theta)^n)\)

よって、

\(n\hat{\theta}=\bar{y}(1-(1-\hat{\theta})^n)\)

を解くことにより、\(\hat{\theta}\)を得られる。(公式の解答では、反復法によって計算するという所まで書かれている。)

また、この方程式は、条件付き期待値\(\eta(\theta)=\displaystyle \frac{n\theta}{1-(1-\theta)^n}\)を標本平均\(\bar{y}\)で置き換えた方程式なので、モーメント法である。

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