[1]
\(F(x)=\displaystyle \int^\infty_0 f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \lambda e^{-\lambda x}dx\)
\(=1-e^{-\lambda x}\)
\(M_X(\theta)=\displaystyle \int^\infty_0 e^{\theta x}f(x)dx\)
\(\displaystyle \int^\infty_0 \lambda e^{(\theta-\lambda)x}dx\)
\(\displaystyle =\frac{\lambda}{\lambda-\theta}\)(\(\theta < \lambda\)の時)
[2]
\(W_2,W_3\)の確率密度関数を計算してみると、帰納法で証明するのではないかと気づくことが出来ます。
\(W_n,X_{n+1}\)の確率密度関数を与式のように仮定して\(W_{n+1}\)の確率密度関数を計算する。
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{} W_{n+1}&=&W_n+X_{n+1} \\ W’_n&=&W_n \end{array}\right.\)
と変数変換すると、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{} X_n&=&W_{n+1}-W’_n \\ W_n&=&W’_n \end{array}\right.\)
となり、ヤコビアンは\(||J||=1\)なので、\(W_{n+1},W’_n\)の同時確率密度関数\(g(w_{n+1},w’_n)\)は、
\(g(w_{n+1},w’_n)\)\(\displaystyle =\lambda e^{-\lambda (w_{n+1}-w’_n)}g_n(w’_n)\)
よって、
\(g_n( w_{n+1})\)\(\displaystyle =\int^{w_{n+1}}_0 \lambda e^{-\lambda (w_{n+1}-w’_n)}g_n(w’_n)dw’_n\)
\(\displaystyle =\int^{w_{n+1}}_0 \lambda e^{-\lambda (w_{n+1}-w’_n)}\frac{\lambda^n {w’_n}^{n-1}e^{\lambda w’_n}}{(n-1)!}dw’_n\)
\(\displaystyle = \lambda^{n+1} e^{-\lambda w_{n+1}}\int^{w_{n+1}}_0 \frac{ {w’_n}^{n-1}}{(n-1)!}dw’_n\)
\(\displaystyle =\frac{\lambda^{n+1}w_{n+1}^n e^{\lambda w_{n+1}}}{n!}\)
よって、\(g_n(w)\)を仮定すると\(g_{n+1}\)でも成り立ち、\(n=1\)の時は明らかに成り立つ。
\(M_W(\theta)=E[e^{\theta W}]\)
\(=E[e^{\theta(X_1+\cdots X_n)}]\)
\(=E[e^{\theta X_1}]\cdot \cdots \cdot E[e^{\theta X_n}]\)
\(\displaystyle = \left( \frac{\lambda}{\lambda-\theta}\right)^n\)
\(g_n(w)\)の別解
\(X_i\sim Ga(1,\lambda)\)かつガンマ分布は再生性を持つので、\(W \sim Ga(n,\lambda)\)なので示される。
[3]
\(U=\)の形に変形して、
\(u=e^{-\lambda x}\)
\(|du|=\lambda e^{-\lambda x}|dx|\)かつ、\(f_U(u)=1\)なので、
\(\displaystyle f_X(x)=f_U(u)|_{u=e^{-\lambda x}}\lambda e^{-\lambda x}\)
\(=\lambda e^{-\lambda x}\)
[4]
\(P(Y=y)=P(y \leq X < y+1)\)
\(\displaystyle = \int_y^{y+1} \lambda e^{-\lambda x}dx\)(\(X \sim Exp(\lambda)\)のため)
\(\displaystyle =e^{-\lambda y}-e^{-\lambda (y+1)}\)
\(\displaystyle =e^{y \ln(1-p)}-e^{(y+1)\ln(1-p)}\)
\(\displaystyle =(1-p)^y-(1-p)^{y+1}\)\(=p(1-p)^y\)
[5]
\(U_i\)の積の形があるので、対数を取って、
\(\displaystyle \sum_{i=1}^m \ln U_i \)\(> -\lambda\)\(\displaystyle >\sum_{i=1}^{m+1} \ln U_i \)
[3]の\(-\lambda^{-1}\ln U\)に近しい形が出たので、各辺に\(-\lambda^{-1}\)を掛けると、
\(\displaystyle \sum_{i=1}^m -\lambda^{-1}\ln U_i\)\(< 1\)\(\displaystyle <\sum_{i=1}^{m+1} -\lambda^{-1}\ln U_i\)
\(\displaystyle \sum_{i=1}^m X_i\)\(< 1\)\(\displaystyle <\sum_{i=1}^{m+1} X_i\)
\(\displaystyle W_m\)\(< 1\)\(\displaystyle <W_{m+1}\)
これは、1秒間に生起回数が\(m\)回になる場合で、その確率は問題文の仮定より、ポアソン分布に従う。
問題文の仮定を用いない場合
以下の解き方はこの書籍を参考にした解き方です。
\(P(M=m)\)は1秒間の間に、1秒あたり\(\lambda [\rm{s}^{-1}]\)の頻度で生じる不良品の数が\(m\)個となる確率である。\([0,1]\)の区間を\(n\)等分して\(n\)回不良品発生のチャンスがあるとすると、各チャンスで不良品の発生確率は\(\displaystyle \frac{\lambda}{n}\)なので、\(\displaystyle M \sim B\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)\)に従う。\(\displaystyle \frac{\lambda}{n} \ll 1\)なので\(M \sim Po(\lambda)\)に従う。
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