[1]
個数はそれぞれ、\(A:N_A,B:100-N_A\)なので、
\(P(X=x)=\displaystyle \frac{{}_{N_A}C_x\cdot{}_{100-N_A}C_{15-x}}{{}_{100}C_{15}}\)
[2]
\(x=4\)として、
\(L(N_A)=\displaystyle \frac{{}_{N_A}C_4\cdot{}_{100-N_A}C_{11}}{{}_{100}C_{15}}\)
\(\displaystyle \frac{L(N_A+1)}{L(N_A)}=\frac{\frac{{}_{N_A+1}C_4\cdot{}_{99-N_A}C_{11}}{{}_{100}C_{15}}}{\frac{{}_{N_A}C_4\cdot{}_{100-N_A}C_{11}}{{}_{100}C_{15}}}\)
\({}_nC_r=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\)の公式を使って、
\(\displaystyle =\frac{(N_A+1)(89-N_A)}{(N_A-3)(100-N_A)}<1\)
として解くと、
\(N_A> \displaystyle \frac{389}{15}=25.9\cdots\)
よって、
\(N_A<26\)では、\(L(N_A)<L(N_A+1)\)、\(26 \leq N_A\)では、\(L(N_A)>L(N_A+1)\)が成り立つので、\(L(N_A)\)を最大にする\(N_A\)の最尤推定値は\(N_A=26\)。
[3]
確率は\(1\)なので、
\(\displaystyle \sum^{100}_{n=0}P(N_A=n)=1\)
\(\displaystyle \sum^{100}_{n=0}C(n+1)=1\)
\(\displaystyle \frac{C}{2}(100+1)(100+2)=1\)
\(C=\displaystyle \frac{1}{5151}\)
[4]
\(P(N_A=n|X =4) \)\(\propto P(N_A=n)P(X=4|N_A=n)\)
\(\propto C(n+1)\displaystyle \frac{{}_{n}C_4\cdot{}_{100-n}C_{11}}{{}_{100}C_{15}}\)
\(\propto (n+1){}_{n}C_4\cdot{}_{100-n}C_{11}\)\(\equiv M(n)\)とすると、
\(\displaystyle \frac{M(n+1)}{M(n)}=\frac{(n+2){}_{n+1}C_4\cdot{}_{99-n}C_{11}}{(n+1){}_{n}C_4\cdot{}_{100-n}C_{11}}\)
\(\displaystyle =\frac{(n+2)(n+1)(89-n)}{(n+1)(n-3)(100-n)}<1\)として、[2]と同様に解くと、\(M(n)\)を最大にする\(n\)は30。
よって\(N_A\)の事後モードは30。
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