ガンマ関数とベータ関数の関係式の証明

統計

2022.01.012022.10.16

はじめに
証明

はじめに

ガンマ関数とベータ関数の間には以下のような関係式があります。

$$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$

この式の証明をまとめます。

証明

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$を変形して、

$\displaystyle B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)$

右辺を積分系で表すと、

$ \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) $

$\displaystyle = \int^\infty_0 x^{\alpha-1}e^{-x}dx \int^\infty_0 y^{\beta-1}e^{-y}dy $

$\displaystyle = \int^\infty_0\int^\infty_0x^{\alpha-1}y^{\beta-1}e^{-(x+y)}dxdy$

左辺を積分系で表して、右辺の積分系に指数部が揃うように変形すると、

$B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta)$

$\displaystyle = \int^1_0 u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du\int^\infty_0 v^{\alpha+\beta-1}e^{-v}dv$

$\displaystyle =\int^1_0\int^\infty_0 (uv)^{\alpha-1}((1-u)v)^{\beta-1}ve^{-v}dudv$

両辺の$e$の指数部分と$\alpha-1$乗の部分($\beta-1$乗の部分でも良い)を比較すると、

$x+y=v,x=uv$すなわち、$x=uv,y=(1-u)v$と変数変換すると証明が出来そうです。

$ \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) $$\displaystyle = \int^\infty_0\int^\infty_0x^{\alpha-1}y^{\beta-1}e^{-(x+y)}dxdy$

に$x=uv,y=(1-u)v$の変数変換をします。

ヤコビアン$|J|$は

$\displaystyle |J|=\left|v(1-u)-u(-v)\right|=v$

よって、$dxdy=vdudv$

積分範囲は、$x=uv,y=(1-u)v$の変換の時、$\displaystyle u=\frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+\frac{y}{x}},v=x+y$なので、$0<u\leq 1,0\leq v$になります。

以上より変数変換すると、

$\displaystyle \int^\infty_0\int^\infty_0x^{\alpha-1}y^{\beta-1}e^{-(x+y)}dxdy$$ \displaystyle =\int^1_0\int^\infty_0 (uv)^{\alpha-1}((1-u)v)^{\beta-1}ve^{-v}dudv $

が成り立つので等式の証明が出来ました。