[1]
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{m\bar{X}_{(0)}+(n-m)\bar{X}_{(1)}}{n}\)を\((2)\)式に代入して示される。
[2]
\(\displaystyle d^2=\frac{SS_B}{SS_T/(n-1)}\)より、
\(\displaystyle \frac{d^2}{n-1}SS_T=SS_B\)
\(\displaystyle \frac{d^2}{n-1}(SS_W+SS_B)=SS_B\)(\(SS_T=SS_W+SS_B\)を使った)
また、\(\displaystyle F=\frac{SS_B}{SS_W/(n-2)}\)より、
\(\displaystyle SS_W=\frac{n-2}{F}SS_B\)なので、これを代入して、
\(\displaystyle \frac{d^2}{n-1}\left(\frac{n-2}{F}SS_B+SS_B\right)\)\(=SS_B\)
これを解いて、
\(\displaystyle d^2=\frac{(n-1)F}{n-2+F}\)
[3]
\(\displaystyle F=\frac{U}{V/(n-2)}\)(ただし、\(U\sim \chi^2(1)\)\(,V \sim \chi^2(n-2)\))とすると、
\(\displaystyle d^2=\frac{(n-1)\frac{U}{V/(n-2)} }{n-2+\frac{U}{V/(n-2)} }\)
\(\displaystyle =\frac{U}{(U+V)/(n-1)}\)\(\sim F(1,n-1)\)なので、
\(\displaystyle d^2=\frac{Z^2}{W/(n-1)}\)(ただし、\(Z\sim N(0,1)\)\(,W \sim \chi^2(n-1)\))と書き換えられる。
\(\displaystyle P\left(\frac{Z^2}{W/(n-1)} \geq d^2 \right)\)
\(\displaystyle =P\left( \left| \frac{Z}{\sqrt{W/(n-1)}}\right|\geq d\right)\)
なので、\(d^2\)に基づく検定は2標本(\(\bar{X}_{(0)}\)\(,\bar{X}_{(1)}\))の両側\(t\)検定と同等である。
[4]
公式の解答を参照。
公式の解答の説明をします。「棄却された場合、MCARとはいえない」というのは、MCARとなるには2分布が等しいということが必要ですが、2分布の平均が異なる時点でMCARは否定されることになります。
対して、「棄却されなかった場合、MCARとは言い切れない」というのは、MCARと言うには2分布が等しいことを言う必要がありますが、検定によって平均が等しいことしか言えていないので、MCARと言い切ることは出来ないとしているのでしょう。
[5]
公式の解答を参照。
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