はじめに
指数分布の式を導出したのでまとめます。
導出した式は次のような式です。
単位時間あたり\(\lambda\)回起こる事象について、初めて起こるまでの待ち時間\(t\)の確率分布
導出
\(t\)秒以上待つことになる確率\(p(t)\)を求める。
事象は、\(t\)秒間では\(\lambda t\)回起こる確率である。
\(0 ～ t\)秒の間を\(n\)等分し、その微小期間では事象は1回までしか起こりえないとすると、事象の起こりうるチャンスは\(n\)回与えられており、期待値的には\(n\)回中\(\lambda t\)回起こる確率である。
よって1回のチャンスで事象の起こる確率は\(\frac{ \lambda t }{n}\)である。
\(t\)秒以上待つことになる確率は\(n\)回のチャンスの中で1度も事象が起こらなかった場合で、
$$p(t)=(1-\frac{\lambda t}{n})^n$$
\(n\to\infty\)として
$$p(t)=e^{-\lambda t}$$
逆に\(t\)秒以内に事象が起こる確率\(F(t)\)は
$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$
ここで、\(t ～ t + \Delta t\)の間に事象が起こる確率は、\(F(t)\)の微小変化分で(グラフを書いたらイメージしやすい)、微分をして求められる。
\(t ～ t + \Delta t\)の間に事象が起こる確率つまり、待ち時間が\(t\)秒になる確率\(f(t)\)は、
$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$
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