二項分布の分散の導出

はじめに

二項分布\(B(n,p)\)の分散\(V[X]=np(1-p)\)の導出をよく忘れるのでまとめました。

導出

\(V[X] = E[X^2] – E[X]^2\)

\(E[X^2] = \sum\limits_{x=0}^n x^2 \frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\)

\(x^2=x(x-1+1)\)\(=x(x-1) \)\( +x\)

の変形を施して、

\(E[X^2] = \sum\limits_{x=0}^n x(x-1) \frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \)\( +\sum\limits_{x=0}^n x \frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \)

右辺の前半部分を計算していくが、\(x=0,1\)の時は\(0\)なので除いて、

\((前半部) \)

\( = \sum\limits_{x=2}^n \frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \)

\( = \sum\limits_{x=2}^n n(n-1)p^2 \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x} \)

\( = n(n-1)p^2 \sum\limits_{r=0}^{n-2} \frac{(n-2)!}{(r)!(n-2-r)!}p^{r}(1-p)^{n-2-r} \)

\( = n(n-1)p^2 (p+(1-p))^{n-2} \)

\( = n(n-1)p^2 \)

同様に後半部分も計算して、\(E[X]=np\)を利用すると、

\(V[X]=np(1-p) \)