[1]
\(\displaystyle E[X]=\int^1_0 xf(x)dx\)
\(\displaystyle =\int^1_0 \frac{x^a(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}dx\)
\(\displaystyle =\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}\int^1_0 \frac{x^a(1-x)^{b-1}}{B(a+1,b)}dx\)
\(\displaystyle =\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{a!(b-1)!}{(a+b)!}}{\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}}\)
\(\displaystyle =\frac{a}{a+b}\)
[2]
\(f'(x)=12((1-x^2)\)\(+x\cdot (1-x)(-1))\)
\(=12(1-x)(1-3x)=0\)
として、\(0<x<1\)より、\(\displaystyle x_{max}=\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle f(x_{max})=12 \cdot \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2\)
\(\displaystyle = \frac{16}{9}\)
[3]
逆関数法
\(X=F^{-1}(U)\)(\(F(x)\)は\(f(x)\)の累積分布関数で、\(U\sim U(0,1)\))とすればよい。
棄却サンプリング
公式の解答を参照。以下では棄却サンプリングを公式の解答とは別の表記で表した。
\(U_2 < f(U_1)\)(\(U_1,U_2\)は、\(U_1\sim U(0,1),U_2 \sim U(0, f_{max})\))ならば\(X=U_1\)とすればよい。
[4]
\(V[\hat{\theta_1}]\)
\(\displaystyle V[\hat{\theta_1}]=V\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n}V[X]\)
\(X \sim Beta(a,b)\)の時、
\(\displaystyle E[X^2]=\int^1_0 x^2f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int^1_0 \frac{x^{a+1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}dx\)
\(\displaystyle =\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}\int^1_0 \frac{x^{a+1}(1-x)^{b-1}}{B(a+2,b)}dx\)
\(\displaystyle =\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{(a+1)!(b-1)!}{(a+b+1)!}}{\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}}\)
\(\displaystyle =\frac{a(a+1)}{(a+b+1)(a+b)}\)
\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)
\(\displaystyle =\frac{ab}{(a+b+1)(a+b)^2}\)
\(X \sim Beta(2,3)\)の時、
\(\displaystyle V[\hat{\theta_1}]=\frac{1}{n}V[X]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n}\frac{6}{6 \cdot 5^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{25n}\)
\(V[\hat{\theta_2}]\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\)として、
\(\displaystyle V[\hat{\theta_2}]=V\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n u_if(u_i)\right]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n}V\left[ uf(u)\right]\)(\(U \sim U(0,1)\))
\(\displaystyle =\frac{1}{n}V\left[\frac{1}{B(a,b)}u^{a}(1-u)^{b-1}\right]\)
\(\displaystyle =\frac{1}{nB(a,b)^2}V\left[u^{a}(1-u)^{b-1}\right]\)
ここで、
\(\displaystyle E\left[u^{a}(1-u)^{b-1}\right]\)
\(\displaystyle =\int^1_0 u^a(1-u)^{b-1}du\)
\(=B(a+1,b)\)
\(\displaystyle E\left[(u^{a}(1-u)^{b-1})^2\right]\)
\(\displaystyle =\int^1_0 u^{2a}(1-u)^{2b-2}du\)
\(=B(2a+1,2b-1)\)
\(\displaystyle V\left[u^{a}(1-u)^{b-1}\right]\)\(\displaystyle = E\left[(u^{a}(1-u)^{b-1})^2\right]-E\left[u^{a}(1-u)^{b-1}\right]^2\)
より、
\(\displaystyle V[\hat{\theta_2}]=\frac{B(2a+1,2b-1)-B(a+1,b)^2}{nB(a,b)^2}\)
\(f(x)=12x(1-x)^2\)すなわち、\(a=2,b=3\)とすると、
\(\displaystyle V[\hat{\theta_2}]=\frac{B(5,5)-B(3,3)^2}{nB(2,3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{12}{175n}\)
[5]
公式の解答を参照。
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