統計 超幾何分布の期待値と分散
はじめに超幾何分布の期待値と分散を導出したのでまとめます。超幾何分布とは下のような状況の時に現れる分布です。超幾何分布赤玉\(M\)個、白玉\((N-M)\)個から\(n\)個を取り出す時の赤玉の個数\(x\)は超幾何分布に従う超幾何分布の...
2021-11
統計 統計 中心極限定理を使って二項分布を正規分布に近似する
はじめに中心極限定理を使って、二項分布を正規分布に近似したのでまとめます。中心極限定理$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\bar{X}-\mu} {\sigma/\sqrt{n}...
統計 【証明】チェビシェフの不等式、大数の弱法則、中心極限定理
はじめに統計検定1級の勉強をしていて、チェビシェフの不等式、大数の弱法則、中心極限定理の証明が難しすぎたので、自分の記録用にまとめます。チェビシェフの不等式チェビシェフの不等式\(\epsilon>0\)に対して$$P(|Z-\mu|\ge...
統計 『統計学』第1章練習問題問1.3[1]
はじめに統計検定1級対応のテキスト『統計学』の第1章練習問題問1.3を解きました。難しかったため、自分用に解説を残しておきます。解き方は、以下のサイトを参考にして、自分の解きやすい方法にアレンジしました。数学的な厳密さに欠ける部分もあると思...
統計 2変数の確率密度関数の変数変換
はじめに2変数の確率密度関数の変数変換についてまとめます。導出まず、確率変数\(X,Y\)の確率密度関数が\(f_{XY}(x,y)\)だとします。すると確率密度関数の定義から、以下のような式が成り立ちます。\(\displaystyle ...
統計 不偏共分散の導出
はじめに不偏共分散の以下の式を導出したのでまとめます。不偏共分散$$s_{xy}=\displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \frac{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}...
統計 標本平均を用いた分散(不偏分散)はなぜ\(n-1\)で割るのか
はじめに統計検定の勉強をしていて下のような不偏分散の式を見かけます。不偏分散$$s=\displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$なぜ\(n\)で...
統計 偏相関係数の導出
はじめにまず、確率変数が3つ\(X,Y,Z\)があるとします。そして\(XとZ、YとZ\)にはそれぞれ正の相関があるとします。この時、\(XとY\)は互いに無関係な確率変数だったとしても、\(XとY\)の間には何かしらの相関があるように見え...
統計 二項分布の確率母関数を導出する
はじめに二項分布の分散って導出するのが大変ですよね。確率母関数またはモーメント母関数を計算出来れば、その確率変数のモーメントを簡単に計算出来ます。確率母関数とモーメント母関数の使い分けは、離散型確率分布なら確率母関数、連続型確率分布なら母関...
統計 正規分布の\(X^2\)の期待値の導出
はじめに確率変数\(X\)が正規分布\(N(\mu,\sigma)\)に従うときの\(X^2\)の期待値\(E\)を導出したのでまとめます。\(V=E-E^2\)の式を使えば簡単に計算は出来ますが、今回は確率密度関数を使って計算をしました。...