ベータ分布の期待値と分散

統計

2022.01.02

はじめに

ベータ分布の期待値と分散を計算したのでまとめます。

ベータ分布の確率密度関数は以下です。

ベータ分布

$$\displaystyle f(x)= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$$

ただし、$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int^1_0 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

$E[X]$

$\displaystyle = \int^1_0 xf(x)dx$

$\displaystyle = \frac{\int^1_0 x^\alpha(1-x)^{\beta-1}dx}{B(\alpha,\beta)}$

$\displaystyle = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

ここで、ガンマ関数とベータ関数の関係式

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

より、

$\displaystyle B(\alpha+1,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)}$

$\displaystyle =\frac{\alpha\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)}$

$\displaystyle =\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)$

以上より、

$E[X]$

$\displaystyle = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

$\displaystyle = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $

分散も期待値と同様に計算していきます。

$E[X^2]$

$\displaystyle = \frac{\int^1_0 x^{\alpha+1}(1-x)^{\beta-1}dx}{B(\alpha,\beta)}$

$\displaystyle = \frac{B(\alpha+2,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

ここで

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

より、

$\displaystyle B(\alpha+2,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha+2)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}$

$ \displaystyle =\frac{(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)}$

$ \displaystyle =\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}B(\alpha,\beta)$

よって、

$E[X^2]$

$\displaystyle =\frac{B(\alpha+2,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

$ \displaystyle =\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}$

以上より

$V[X]$

$=E[X^2]-E[X]^2$

$\displaystyle = \frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)} $$\displaystyle – \left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \right)^2$

$\displaystyle = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$