[1]
期待値に関しては公式の解答を参照。
分散の導出をする。
\(V[X]\)\(\displaystyle =\int^\infty_{-\infty}\left(x-\frac{\mu_1+\mu_2}{2}\right)^2f(x)dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}\left(x-\frac{\mu_1+\mu_2}{2}\right)^2f_1(x)dx\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}\left(x-\frac{\mu_1+\mu_2}{2}\right)^2f_2(x)dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}\left(x-\mu_1+\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\right)^2f_1(x)dx\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}\left(x-\mu_2-\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\right)^2f_2(x)dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}(x-\mu_1)^2f_1(x)dx\)\(\displaystyle +\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\int^\infty_{-\infty}(x-\mu_1)f_1(x)dx\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\right)^2\int^\infty_{-\infty}f_1(x)dx\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty}(x-\mu_2)^2f_2(x)dx\)\(\displaystyle -\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\int^\infty_{-\infty}(x-\mu_2)f_2(x)dx\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\right)^2\int^\infty_{-\infty}f_2(x)dx\)
\(\displaystyle =\sigma^2+\left(\frac{\mu_1-\mu_2}{2}\right)^2\)
別解
\(E[X^2]=\displaystyle \int^\infty_{-\infty} x^2 \frac{f_1(x)+f_2(x)}{2}dx\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}E_1[X^2]+\frac{1}{2}E_2[X^2]\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}(V_1[X^2]+E_1[X]^2)\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}(V_2[X^2]+E_2[X]^2)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}(\sigma^2+\mu_1^2)\)\(\displaystyle +\frac{1}{2}(\sigma^2+\mu_2^2)\)
\(=\displaystyle \frac{\mu_1^2+\mu_2^2}{2}+\sigma^2\)
\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)
\(\displaystyle =\frac{\mu_1^2+\mu_2^2}{2}+\sigma^2 -\xi^2\)
より示される。
[2]
平均は、
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{69.7\times 50 +49.6\times 50}{100}\)
で計算出来る。
選択を1、非選択を2とすると、選択については、
\(6.8^2=\bar{x_1^2}-\bar{x_1}^2\)
なので、選択者50人の点数の2乗和は、
\(50 \times \bar{x_1^2}=50(69.7^2+6.8^2)\)
同様に、
\(50 \times \bar{x_2^2}=50(49.6^2+7.8^2)\)
以上より標準偏差は、
\(s\)\(\displaystyle =\sqrt{\frac{50(69.7^2+6.8^2)+50(49.6^2+7.8^2)}{100}-\bar{x}^2}\)
で計算出来る。
[3]
\(f'(x),f”(x)\)は公式の解答を参照。また、\(\displaystyle f'(\frac{\mu_1+\mu_2}{2})=0\)は頑張って計算をする。
極値であることをいうには、\(\displaystyle f”(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}) \neq 0\)が言えればいいんですけど、この不等式を解くと
\(|\mu_1-\mu_2| \neq 2\sigma\)
になります。すなわち\(|\mu_1-\mu_2| \neq 2\sigma\)の時は極値があると言えますが、\(|\mu_1-\mu_2| = 2\sigma\)の時に極値があることはまだ言えていません。
これを言うには、\(|\mu_1-\mu_2| = 2\sigma\)の時に、\(x=\xi\)で\(f'(x)\)の符号が反転することを言えばよいです。
\(|\mu_1-\mu_2| = 2\sigma\)の条件の下で、\(\mu_1 < \mu_2\)として、\(x=\xi,\mu_1,\mu_2\)の\(f'(x),f”(x)\)を計算して増減表を書くと、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(\mu_1\) | \(\cdots\) | \(\xi\) | \(\cdots\) | \(\mu_2\) | \(\cdots\) |
| \(f”(x)\) | \(-\) | \(\displaystyle \frac{3e^{-2}-1}{2\sqrt{2\pi}\sigma^3}\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(\displaystyle \frac{3e^{-2}-1}{2\sqrt{2\pi}\sigma^3}\) | \(-\) |
| \(f'(x)\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) |
よって、\(x=\xi\)で極値を持つことが示された。
[4]
公式の解答を参照。
厳密には二峰性となるには、\(f'(x)=0\)の異なる解が2つ以上存在することを言わなければいけない気がしますが、今回は問題で与えられている図2に甘えて、\(\displaystyle \frac{\mu_1+\mu_2}{2}\)の時に極小値を取る条件で答えとしました。
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