[1]
\(\displaystyle E[T]=\int^\infty_0tf(t)dt\)
の形的に部分積分をしたいですが、部分積分後に\(S(t)\)が出てほしいので、
\(\displaystyle E[T]=\int^\infty_0tf(t)dt\)
\(\displaystyle =-\int^\infty_0ts(t)dt\)
部分積分をして、
\(\displaystyle =-[tS(t)]^\infty_0+\int^\infty_0S(t)dt\)
\(\displaystyle =-\lim_{t \to \infty}tS(t)+\int^\infty_0S(t)dt \)
ここで\(\displaystyle \lim_{t \to \infty}tS(t)=0\)を示さなければなりません。
\(\displaystyle tS(t)\)\(\displaystyle =t\int^\infty_t f(\tau)d\tau\)
\(t < \tau\)の時、\(tf(\tau)< \tau f(\tau)\)で、
\(\displaystyle t\int^\infty_t f(\tau)d\tau < \int^\infty_t \tau f(\tau)d\tau\)
\(\displaystyle t\int^\infty_t f(\tau)d\tau < \int^\infty_0 \tau f(\tau)d\tau \)\(\displaystyle -\int^t_0 \tau f(\tau)d\tau\)
\(t \to \infty\)とすると、\(E[T] <\infty\)より、\(\displaystyle \int^\infty_0 \tau f(\tau)d\tau\)は一定値\(E[T]\)に収束し、右辺は\(E[T]-E[T]=0\)に近づく。
よって、\(\displaystyle \lim_{t\to \infty}t\int^\infty_t f(\tau)d\tau=0\)が言えた。
[2]
1
時点\(t\)で稼働している時の、製品の寿命の条件付確率は、
\(P(T=t_1|T>t)\)
\(\displaystyle =\frac{P(T=t_1>t)}{P(T>t)}\)
\(\displaystyle =\frac{f(t_1)}{S(t)}\)
余命の条件付き期待値は、
\(m(t)=E[T-t|T>t]\)
\(\displaystyle =\int^\infty_t (t_1-t)\frac{f(t_1)}{S(t)}dt_1\)
\(\displaystyle =\frac{\displaystyle\int^\infty_t (t_1-t)f(t_1)dt_1}{S(t)}\)
分子について、
\(\displaystyle\int^\infty_t (t_1-t)f(t_1)dt_1\)
\(\displaystyle =\int^\infty_tt_1f(t_1)dt_1-t\int^\infty_tf(t_1)dt_1\)
第2項は\(tS(t)\)で、第1項は、部分積分で\(S(t)\)を登場させることを目標にして、
\(\displaystyle \int^\infty_tt_1f(t_1)dt_1\)
\(\displaystyle =-\int^\infty_t t_1(-f(t_1))dt_1\)
\(\displaystyle =-[tS(t)]^\infty_t\)\(\displaystyle +\int^\infty_tS(t_1)dt_1\)
\(\displaystyle =tS(t)\)\(\displaystyle +\int^\infty_tS(x)dx\)
よって、
\(\displaystyle \int^\infty_tt_1f(t_1)dt_1-t\int^\infty_tf(t_1)dt_1\)
\(=\displaystyle \int^\infty_tS(x)dx\)
となり示された。
2
逆走で示す。
\(\displaystyle \int^\infty_0 \exp\left[H(t)-H(t+x)\right]dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \exp\left[\int^t_0 h(s)ds-\int^{t+x}_0h(s)ds\right]dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0\exp\left[-\int^{t+x}_th(s)ds\right]dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0\exp\left[\int^{t+x}_t\frac{-f(s)}{S(s)}ds\right]dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0\exp\left[[\ln S(s)]^{t+x}_t\right]dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0\exp\left[\ln \frac{S(t+x)}{S(t)}\right]dx\)
\(\displaystyle =\int^\infty_0 \frac{S(t+x)}{S(t)}dx\)
\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \int^\infty_0 S(t+x)dx}{S(t)}\)
\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \int^\infty_t S(x’)dx’}{S(t)}\)(\(x+t=x’\)で変数変換)
\(=m(t)\)
3
逆走で示す。
\(\displaystyle S(t)=\exp\left[-\int^t_0 \frac{1+m'(x)}{m(x)}dx\right]\)
\(\displaystyle \ln S(t)=-\int^t_0 \frac{1+m'(x)}{m(x)}dx\)
\(m(t)\)を登場させるために\(t\)で微分して、
\(\displaystyle \frac{S'(t)}{S(t)}=-\frac{1+m'(t)}{m(t)}\)
\(\displaystyle S'(t)m(t)+S(t)(1+m'(t))=0\)
\(S'(t)m(t),S(t)m'(t)\)があるので、\(S(t)m(t)\)の積の微分を行うことを考える。
\(m(t)=\displaystyle \frac{\displaystyle \int^\infty_t S(x)dx}{S(t)} \)より、
\(\displaystyle m(t)S(t)=\int^\infty_t S(x)dx\)
両辺を微分して、
\(\displaystyle m'(t)S(t)+m(t)S'(t)=-S(t)\)
\(\displaystyle S'(t)m(t)+S(t)(1+m'(t))=0\)
逆に積分しても成り立つことは、
\(\displaystyle \int^t_0\frac{S'(t)}{S(t)}dt\)\(=\displaystyle [\ln S(t)]^t_0\)
\(=\ln S(t)-\ln S(0)=\ln S(t)\)
となることから分かる。
[3]
(1)
公式の解答を参照。
(2)
\(H(t)\)が凸関数ならば\(h(t)\)は\(t\)の増加関数であることを言えばよい。
流石に「\(H(t)\)が凸関数\(\Longrightarrow\)\(H”(t)>0\)」の証明を求められるとは思いませんが一応参考サイトを載せておきます。
[4]
(1)
\(f(x)=F'(x)\)\(\displaystyle =e^{-x}\)
\(x=t^\beta\)とすると、\(dx=\beta t^{\beta-1}dt\)なので、
\(g_\beta(t)=e^{-t^\beta}\beta t^{\beta-1}\)\(=\beta t^{\beta-1}e^{-t^\beta}\)
\(G(t)=\displaystyle \int^t_0 g_\beta(t)dt\)
\(\displaystyle =\int^t_0 \beta t^{\beta-1}e^{-t^\beta}dt\)\(\displaystyle =1-e^{-t^\beta}\)
\(h_\beta(t)=\displaystyle \frac{g_\beta(t)}{1-G(t)}\)
\(\displaystyle =\frac{\beta t^{\beta-1}e^{-t^\beta}}{e^{-t^\beta}}\)\(=\beta t^{\beta-1}\)
\(H(t)\)の凹凸は\(H(t)\)の2階微分の正負で判定出来る。
\(H”(t)=h'(t)=\beta(\beta-1)t^{\beta-1}\)
\(H”(t)>0\)すなわち、\(\beta>1\)の時、\(H(t)\)は凸関数、\(H”(t)<0\)すなわち、\(0<\beta<1\)の時、\(H(t)\)は凹関数になる。
(2)
\(\displaystyle h_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\)\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{t}}\)
\(\displaystyle h_2=2t\)
参考サイト
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