[1]
以下のサイトを参照。
[2]
\(M_X(t)=E[t^{tX}]\)
\(\displaystyle = \sum_{x=0}^\infty e^{tx}\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\)
\(\displaystyle = \sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!}e^{-\lambda}\)
\(\displaystyle = \frac{e^{-\lambda}}{e^{-\lambda e^t}}\sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!}e^{-\lambda e^t}\)
\(\displaystyle =e^{\lambda(e^t-1)}\)(\(\sum\)内は\(Po(\lambda e^t)\)の確率密度関数であるため)
次に、
\(E[X]\)\(=M_X'(t)|_{t=0}\)
\(=e^{\lambda(e^t-1)}\lambda e^t|_{t=0}\)\(=\lambda\)
次に、
\(E[X^2]\)\(=M_X”(t)|_{t=0}\)
\(=\lambda e^{\lambda e^t -\lambda+t }(\lambda e^t+1)|_{t=0}\)\(=\lambda(\lambda+1)\)
\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)\(=\lambda\)
[3]
\(M_Y(t)=E[e^{tY}]\)
\(=E[e^{tX_1}e^{tX_2}]\)
\(=E[e^{tX_1}]E[e^{tX_2}]\)(独立のため)
\(=e^{\lambda_1(e^t-1)}e^{\lambda_2(e^t-1)}\)
\(=e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)}\)
これは\(Po(\lambda_1+\lambda_2)\)のモーメント母関数である。
[4]
\(\displaystyle Z=\frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}}\)
\(\displaystyle =\frac{X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\)
\(M_Z(t)=E[e^{tZ}]\)
\(\displaystyle =E[e^{t\frac{X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}]\)
\(\displaystyle =e^{-\sqrt{\lambda}t}E\left[e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}x}\right]\)
\(\displaystyle =e^{-\sqrt{\lambda}t}M_X\left(\frac{t}{\sqrt{\lambda}}\right)\)
\(\displaystyle =e^{-\sqrt{\lambda}t}e^{\lambda\left(e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}}-1\right)}\)
\(\displaystyle \ln M_Z(t)= -\sqrt{\lambda}t+\lambda\left(e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}}-1\right)\)
\(\lambda \to \infty\)の時、\(\displaystyle \frac{t}{\sqrt{\lambda}} \to 0\)なので、\(\displaystyle e^{\frac{t}{\sqrt{\lambda}}}\)を\(\displaystyle \frac{t}{\sqrt{\lambda}} \)周りでマクローリン展開して計算すると、
\(\displaystyle \ln M_Z(t) \to \frac{1}{2}t^2\)
これにより示された。
参考サイト
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