統計検定 1級 2023年 統計応用(理工学) 問1 解答 解説

[1]

[1-1]

\(\hat{\beta}\)

\(s=t\)のとき、

\(X= \begin{pmatrix}1& 1 & s \\ 1& 1 & -s \\1& -1 & s \\1& -1 & -s \\ \end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -1 \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)

\(X^T X =\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -1 \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)

\( =\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)

\( =4\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s^2 \\ \end{pmatrix}\)

\((X^T X)^{-1}\)\( =\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)

\((X^T X)^{-1}X^T y\)\( =\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}y\)

\( =\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}y\)

\( =\displaystyle \frac{1}{4}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1/s& -1/s & 1/s & -1 /s\\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}y_1 \\y_2 \\y_3 \\y_4 \\ \end{pmatrix} \)

よって、

\(\hat{\beta} = \begin{pmatrix}\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \\\frac{y_1+y_2-y_3-y_4}{4} \\\frac{y_1-y_2+y_3-y_4}{4s} \\ \end{pmatrix} \)

\(V[\hat{\beta}]\)

\(V[\hat{\beta}] = \sigma^2 (X^TX)^{-1}\)

\( =\displaystyle \frac{\sigma^2}{4}\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)

[1-2]

\(|V[\hat{\beta}]|\)が最小となるとき、\( \displaystyle \left |\begin{matrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{matrix}\right|\)が最小となるときで、

\( \displaystyle \left |\begin{matrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{matrix}\right| = \frac{1}{s^2}\)

が最小になるときは、\(s\)が最大になるときで、\(s=L\)

[1-3]

\(\rm{tr}(V[\hat{\beta}])\)が最小となるとき、\( \displaystyle \rm{tr} \begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix}\)が最小となるときで、

\( \displaystyle tr\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 & 0\\0 &0 & 1/s^2 \\ \end{pmatrix} = 2+\frac{1}{s^2}\)

が最小になるときは、\(s\)が最大になるときで、\(s=L\)

[2]

\(s=1\)のとき、

\(X= \begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -t \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -t \\ \end{pmatrix}\)

\(X^T X =\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1&1 \\ 1& 1 & -1 &-1 \\1& -t & 1 & -t \\ \end{pmatrix}\)\( \begin{pmatrix}1& 1 & 1 \\ 1& 1 & -t \\1& -1 & 1 \\1& -1 & -t \\ \end{pmatrix}\)

\( =\begin{pmatrix} 4&0&2(1-t)\\ 0 &4 & 0\\2(1-t) &0 & 2(1+t^2) \\ \end{pmatrix}\)

余因子行列で逆行列を求める方法を用いて、

\( (X^T X)^{-1}\)\( =\displaystyle \frac{1}{32(1+t^2) -16(1-t)^2}\)\( \times \begin{pmatrix} 8(1+t^2) & 0& -8(1-t)\\ 0 & {8(1+t^2)\\-4(1-t)^2} & 0\\-8(1-t) & 0 & 16 \\ \end{pmatrix}\)

\( =\displaystyle \frac{1}{4(1+t)^2}\)\( \times \begin{pmatrix} 2(1+t^2) & 0& -2(1-t)\\ 0 & (1+t)^2 & 0\\-2(1-t) & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)

\(V[\hat{\beta}] = \sigma^2 (X^TX)^{-1}\)

\( =\displaystyle \frac{\sigma^2}{4(1+t)^2}\)\( \times \begin{pmatrix} 2(1+t^2) & 0& -2(1-t)\\ 0 & (1+t)^2 & 0\\-2(1-t) & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\)

\( :=\displaystyle \frac{\sigma^2}{4(1+t)^2}\)\( \times M\)

[2-1]

\(|V[\hat{\beta}]|\)が最小となるとき、\( \displaystyle \left | \frac{1}{(1+t)^2}M\right|\)が最小となるときで、

\( \displaystyle \left | \frac{1}{(1+t)^2} M\right|\)\( = \displaystyle \frac{8(1+t^2)(1+t)^2-4(1-t)^2(1+t)^2}{(1+t)^6}\)

\( = \displaystyle \frac{4}{(1+t)^2}\)

が最小になるときは、\(t\)が最大になるときで、\(t=L=5\)

[2-2]

\(\rm{tr}(V[\hat{\beta}])\)が最小となるとき、\( \displaystyle \frac{1}{(1+t)^2} \cdot \rm{tr} M\)が最小となるときで、

\( \displaystyle \frac{1}{(1+t)^2}\cdot \rm{tr}M\)\( = \displaystyle \frac{3t^2+2t+7}{(1+t)^2}\)

\( = \displaystyle 3-\frac{4}{1+t}+\frac{8}{(1+t)^2}\)

\( = \displaystyle 8\left(\frac{1}{1+t}-\frac{1}{4} \right)^2 +\frac{5}{2}\)

が最小になるときは、\( \displaystyle \frac{1}{1+t}=\frac{1}{4} \)のときで、\(t=3\)

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