幾何分布の期待値の導出

統計

2021.10.072021.12.29

はじめに

幾何分布の期待値を導出しました。

幾何分布の確率密度関数は次の通りです。

$$f(x)=p(1-p)^{x-1}$$

言葉で説明すると、「確率pの試行を続ける時、$x$回目に初めて成功する確率」です。

それでは導出をまとめます。

$E[x]=\sum\limits_{x=1}^\infty x\cdot p(1-p)^{x-1} $

$=p \sum\limits_{x=1}^\infty x (1-p)^{x-1} \cdots ①$

(等差数列)×(等比数列)の形なので、両辺を公比$(1-p)$倍して、

$(1-p)E[x]=p \sum\limits_{x=1}^\infty x (1-p)^x \cdots ②$

①の$x$を$x+1$で置き換えて

$E[x]=p \sum\limits_{x=0}^\infty (x+1) (1-p)^x $

$= p$$+p \sum\limits_{x=1}^\infty (x+1) (1-p)^x \cdots ①’$

$①’-②$より、

$pE[x]=p$$+ p \sum\limits_{x=1}^\infty (1-p)^x $

$E[x]= 1$$+ \sum\limits_{x=1}^\infty (1-p)^x $

無限等比級数の和の公式を用いて、

$E[x]= 1$$+ \frac{1-p}{1-(1-p)}$

$$E[x]= \frac{1}{p}$$

ちなみに分散は、

$$V[x]=\frac{1-p}{p^2}$$

となりますが、期待値の時と同様に「公比倍して引く」というのを2回繰り返すと導出できます。

2回繰り返す必要がある理由は、$\sum$内に$x^2(1-p)^x$の形が出てきますが、1回だと$x^1$がまだ残ってしまうからです。