積の期待値\(E[XY]\)を共分散\(\sigma_{XY}\)で表す

はじめに

従属な確率変数\(X,Y\)に対して、差の分散\(V[X-Y]\)を計算する途中で登場する積の期待値\(E[XY]\)の扱いに困ったのでまとめておきます。

導出

\(E[XY]\)

\(=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\)\(+\mu_Y X \)\( +\mu_X Y \)\( -\mu_x \mu_Y]\)

\(=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \)\( +\mu_Y E[X] \)\( +\mu_X E[Y] \)\( -\mu_x \mu_Y\)

\(=\sigma_{XY} \)\( +\mu_Y \mu_X \)\( +\mu_X \mu_Y \)\( -\mu_x \mu_Y\)

\(=\sigma_{XY}+\mu_x \mu_Y\)