正規分布の確率密度関数の積はどんな正規分布の確率密度関数になるか

はじめに

統計検定の問題でよく、事後分布を計算することがあるので、正規分布の確率密度関数の積がどんな正規分布の確率密度関数になるかを公式化してみました。

計算

\(N(\mu,\sigma^2)\)の確率密度関数を\(f_1(x)\)\(,N(\nu,\tau^2)\)の確率密度関数を\(f_2(x)\)とすると、

\(f_1(x)f_2(x)\)\(\displaystyle \propto \exp \left[ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\)\(\displaystyle \times \exp \left[ -\frac{(x-\nu)^2}{2\tau^2}\right]\)

\(\displaystyle \propto \exp \left[ -\frac{\sigma^2x^2+\tau^2x^2 -2\mu\tau^2x-2\nu\sigma^2x}{2\sigma^2\tau^2}\right]\)

\(\displaystyle \propto \exp \left[ -\frac{(\sigma^2+\tau^2)\left(x-\frac{\mu\tau^2+\nu\sigma^2}{\sigma^2+\tau^2}\right)}{2\sigma^2\tau^2}\right]\)

これは\(\displaystyle N\left(\frac{\mu\tau^2+\nu\sigma^2}{\sigma^2+\tau^2},\frac{\sigma^2\tau^2}{\sigma^2+\tau^2}\right)\)の確率密度関数である。