[1]
\(M_X(s)\)\(=E[e^{sX}]\)
\(=\displaystyle \int^\infty_0 e^{sx}\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\)
\(=\displaystyle \int^\infty_0 \frac{(\lambda e^s)^x}{x!}e^{-\lambda}\)
\(=\displaystyle e^{-\lambda}\int^\infty_0 \frac{(\lambda e^s)^x}{x!}\)
\(Po(\lambda e^s)\)の確率密度関数の形を目指して、
\(=\displaystyle \frac{e^{-\lambda}}{e^{-\lambda e^s}}\int^\infty_0 \frac{(\lambda e^s)^x}{x!}e^{-\lambda e^s}\)
積分部分は確率\(1\)になるので、
\(\displaystyle =\frac{e^{-\lambda}}{e^{-\lambda e^s}}\)
\(\displaystyle = \exp[\lambda(e^s-1)]\)
[2]
[2-1]
ポアソン分布の再生性を示せばよい。
独立な確率変数\(X_1 \sim Po(\lambda_1),X_2 \sim Po(\lambda_2)\)の時、
\(M_{X_1+X_2}=E[e^{s(X_1+X_2)}]\)
\(=E[e^{sX_1}]E[e^{sX_2}]\)(独立のため)
\(\displaystyle = \exp[\lambda_1(e^s-1)]\exp[\lambda_2(e^s-1)]\)
\(\displaystyle = \exp[(\lambda_1+\lambda_2)(e^s-1)]\)
これは確率密度関数\(p(x;\lambda=\lambda_1+\lambda_2)\)のモーメント母関数であるため、\(X_1+X_2\sim Po(\lambda_1+\lambda_2)\)だと分かる。
よって、\(X_i \sim Po(\lambda)\)の時、\(T \sim Po(n\lambda)\)
[2-2]
\(n\)次ベクトル\(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}\)となる確率\(f(\boldsymbol{x})\)は、
\(f(\boldsymbol{x})\)\(\displaystyle = \prod^n_{i=0}\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}\)
\(\displaystyle = \left(\prod^n_{i=0}\frac{1}{x_i!}\right)\left(\lambda^{x_1+\cdots +x_n}e^{-n\lambda}\right)\)
\(=\displaystyle \left(\prod^n_{i=0}\frac{1}{x_i!}\right)\left(\lambda^Te^{-n\lambda}\right)\)
\(=h(\boldsymbol{x})g(T,\lambda)\)の形で書けるので、\(T\)は\(\lambda\)の十分統計量。
[2-3]
\(f(\boldsymbol{x})\)を最大にする\(\lambda\)をもとめる。
\(\displaystyle \ln f(\boldsymbol{x})\)\(\displaystyle = \ln \frac{1}{x_1!}+cdots + \ln \frac{1}{x_n!}+T\ln \lambda-n\lambda\)
\(\displaystyle \frac{\partial \ln f(\boldsymbol{x})}{\partial \lambda}=\frac{T}{\lambda}-n\)
\(=0\)として、
\(\hat{\lambda}=\displaystyle \frac{T}{n}\)
[3]
\(C=2\)として、\(\displaystyle \left| \frac{T-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\right|\leq 2\)の不等式を解く。2乗して、
\(\displaystyle \frac{(T-n\lambda)^2}{n\lambda}\leq 4\)
これを\(\lambda\)の2次不等式として解くと、
\(\displaystyle \frac{t+2-2\sqrt{t+1}}{n}\leq \lambda \leq \frac{t+2+2\sqrt{t+1}}{n}\)
[4]
[3]の信頼区間の中点は\(\displaystyle \frac{t+2}{n}\)、\(\lambda\)の最尤推定値\(\hat{\lambda}=\displaystyle \frac{T}{n}\)を踏まえると、\(\lambda\)は\(\displaystyle \frac{T}{n}\)と\(\displaystyle \frac{t+2}{n}\)の間にある可能性が高く、(以降公式解答)\(\lambda\)は最尤推定値よりもやや大きな値である可能性が大きいことを示唆している。
「やや」とか言葉で回答してよいのか疑問ですが、とりあえず公式の解答に則ってます。
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