[1]
\(f'(x) = 60 (3x^2(1-x)^2 + x^3 \cdot 2(1-x)(-1))\)
\( = 60x^2(1-x) (3(1-x) – 2x)\)
\( = 60x^2(1-x) (3-5x)=0\)として、\(x=0,\displaystyle \frac{3}{5},1\)だが、\(f(x)\)を計算することで(増減表を書くまでもしなくて良いし、\(0\leq x \leq 1\)なので\(0,1\)はないだろうぐらいで大丈夫)
\(\displaystyle x_0 =\frac{3}{5}\)
また、
\(\displaystyle c_0 = 60 \left(\frac{3}{5}\right)^3\left(1-\frac{3}{5}\right)^2=\left(\frac{6}{5}\right)^4\)
[2]
求めたい確率\(\displaystyle P(c_0 U \leq f(Y))\)は、\(c_0 u \leq f(y)\)を満たす\((u,y)\)の範囲で\(U,Y\)の同時確率を積分することで求まり、
\(\displaystyle P(c_0 U \leq f(Y)) = \int \int _{c_0 u \leq f(y)}P(U=u,Y=y)dudy\)
\(y\)を固定してから積分するイメージで
\(\displaystyle = \int \int _{c_0 u \leq f(y)}P(U=u|Y=y)P(Y=y)dudy\)
\(\displaystyle = \int^1_0 \left( \int _{0 \leq u \leq \frac{f(y)}{c_0}}P(U=u|Y=y)du\right)P(Y=y)dy\)
\(\displaystyle = \int^1_0 \frac{f(y)}{c_0}P(Y=y)dy\)
\(\displaystyle = \frac{1}{c_0}\int^1_0 f(y)P(Y=y)dy\)\(\displaystyle = \frac{1}{c_0}\)
途中、\(Y,U\sim U(0,1)\)により\(P(Y=y) = 1\)\(,P(U=u) = 1\)を利用した。
[3]
式(2)から分かることは、\(X\)は確率\(1/c_0\)で\(Y\geq 0\)となり、以外で\(-1\)となることが分かる。
\(\displaystyle P(X=x|X \geq 0) = \frac{P(X=x \geq 0)}{P(X\geq 0)}\)
\(\displaystyle = \frac{P(Y=x)}{1/c_0}\)
\(\displaystyle = c_0P(Y=x)\)
ここで、\(P(Y=x)\)は\(Y,U\)の同時確率分布の\(U\)について積分した時の周辺確率を表しているため、
\(\displaystyle = c_0\int _{c_0 u \leq f(x)}P(U=u,Y=x)du\)
\(\displaystyle = c_0\int _{c_0 u \leq f(x)}P(U=u|Y=x)P(Y=x)du\)
\(\displaystyle = c_0P(Y=x)\int _{0 \leq u \leq \frac{f(x)}{c_0}}P(U=u|Y=x)du\)
\(\displaystyle = c_0P(Y=x)\frac{f(x)}{c_0}=f(x)\)
よって、
\(h(x|X \geq 0) = f(x)\)
[4]
式(2)から\(X\)を生成する手順は、
- 一様分布\(U(0,1)\)から乱数\(Y,U\)を生成
- \(c_0 U \leq f(Y)\)を満たす場合、\(Y\)を\(X\)として採用する
式(2)で\(X=Y\)となる確率は\(1/c_0\)であるため、一様乱数\(Y,U\)の組を\(n\)回生成した時の得られる乱数\(X\)の個数は二項分布\(B(n,1/c_0)\)に従い、平均値は\(n/c_0\)である。
乱数\(X\)を1つ生成するための一様乱数生成の平均回数は\(n/c_0 =1\)として、\(n = c_0\)回。
1回の生成で\(Y,U\)の2つの一様乱数を生成するため、答えは\(2c_0\)個。
[5]
\(c_1\)
\(\displaystyle P(c_1 U \leq f(Y)) = \int \int _{c_1 u \leq f(y)}P(U=u,Y=y)dudy\)
\(\displaystyle = \int \int _{c_1 u \leq f(y)}P(U=u|Y=y)P(Y=y)dudy\)
\(\displaystyle = \int^1_0 \left( \int _{0 \leq u \leq \frac{f(y)}{c_1}}P(U=u|Y=y)du\right)P(Y=y)dy\)
ちなみに\(\max f(y) = c_0\)なので、\(\displaystyle \frac{f(y)}{c_1} \leq 1\)
\(\displaystyle = \int^1_0 \frac{f(y)}{c_1}P(Y=y)dy\)
\(\displaystyle = \frac{1}{c_1}\int^1_0 f(y)P(Y=y)dy\)\(\displaystyle = \frac{1}{c_1}\)
よって、\(X\)は\(1/c_1(\leq 1/c_0)\)の確率で\(Y\)となり、以外で\(-1\)を取る。
\(X\)の条件付き確率密度関数の計算は、[3]の\(c_0\)が\(c_1\)に置き換わるだけで、\(f(x\))である。
よって、\(X\)の条件付き確率密度関数は変わらないが、そのような\(X\)を生成出来る確率が\(1/c_0\)から\(1/c_1\)に下がり、\(X\)の生成に必要な一様乱数の個数が多くなる。
詳しくは公式の解答を参照。
\(c_2\)
\(\displaystyle P(c_2 U \leq f(Y)) = \int \int _{c_2 u \leq f(y)}P(U=u,Y=y)dudy\)
\(\displaystyle = \int \int _{c_2 u \leq f(y)}P(U=u|Y=y)P(Y=y)dudy\)
\(\displaystyle = \int^1_0 \left( \int _{0 \leq u \leq \min \left (f(y)/c_2,1\right)}P(U=u|Y=y)du\right)P(Y=y)dy\)
ちなみに\(\max f(y) = c_0\)なので、\(\displaystyle f(y)/c_2 \geq 1\)となる\(y\)が存在する。
\(\displaystyle = \int^1_0 \min \left (f(y)/c_2,1\right)P(Y=y)dy\)
\(\displaystyle = \int^1_0 \min \left (f(y)/c_2,1\right)dy\)
また、[3]の計算と同様にして、
\(\displaystyle P(Y=x) = \int _{c_2 u \leq f(x)}P(U=u,Y=x)du\)
\(\displaystyle = \int _{ u \leq \min (f(x)/c_2,1)}P(U=u|Y=x)P(Y=x)du\)
\(\displaystyle = \min (f(x)/c_2,1)\)
よって、
\(h(x|X \geq 0) \displaystyle =\frac{\min (f(x)/c_2,1)}{\int^1_0 \min \left (f(y)/c_2,1\right)dy}\)
\(c_0\)より小さい値\(c_2\)を定めると、\(X\)の条件付き確率密度関数は\(f(x)\)の\(c_2\)の上側切断分布となってしまう。
詳しくは公式の解答を参照。
コメント