[1]
\(X_i,Y_i\)は互いに独立の正規分布に従うため、\(D_i\)は、
平均が\(E[Y_i-X_i]\)\( = (\mu_i+\theta) -\mu_i = \theta\)
分散が\(V[Y_i-X_i]\)\( = V[Y_i] + V[X_i] = 2\sigma^2\)
の正規分布に従う。
[2]
\(Z_{i1} = \nu + a_i+b_1 + \varepsilon_{i1} = X_i\)
の両辺に期待値を取り、
\( \nu + a_i+b_1 = \mu_i \cdots ①\)
\(Z_{i2}\)に関しても同様にして、
\( \nu + a_i+b_2 = \mu_i + \theta \cdots ②\)
これらを辺々足して、
\( 2\nu + 2a_i+b_1+b_2 = 2\mu_i + \theta\)
\(\displaystyle \sum_{j=1}^2 b_j =0\)から
\( 2\nu + 2a_i= 2\mu_i + \theta \cdots ③\)
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i =0\)を利用するために両辺に\(\displaystyle \sum_{i=1}^n\)を付けて、
\( \displaystyle 2\sum_{i=1}^n \nu + 2 \sum_{i=1}^n a_i= 2 \sum_{i=1}^n\mu_i +\sum_{i=1}^n \theta\)
\( \displaystyle 2n \nu = 2 \sum_{i=1}^n\mu_i +n \theta\)
\( \displaystyle \nu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\mu_i +\frac{1}{2} \theta\)\( \displaystyle =\bar{\mu} +\frac{1}{2} \theta \cdots ④\)
これを③に代入して整理すると、
\(a_i = \mu_i-\bar{\mu}\cdots ⑤\)
④⑤を①②に代入して整理すると、
\(b_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\theta\)\(,b_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\theta\)
[3]
(a)
[2]より、\(\theta = 0\iff b_1 = b_2\)であるため、水準\(b_j\)間の平方和が\(0\)であることを帰無仮説として検定をすればよい。
分散分析モデルの各平方和および自由度は与えられているため、今回の検定統計量は\(\displaystyle \frac{S_B / \phi_B}{S_E / \phi_e}\)となり、これは\(F( \phi_B,\phi_e)\)に従う。
(b)
[2]の\(a_i = \mu_i-\bar{\mu}\)より、\(\mu_1=\cdots \mu_n \)\(\iff a_1= \cdots = a_n\)であるため、水準\(a_i\)間の平方和が\(0\)であることを帰無仮説として検定をすればよい。
今回の検定統計量は\(\displaystyle \frac{S_A / \phi_A}{S_E / \phi_e}\)となり、これは\(F( \phi_A,\phi_e)\)に従う。
[4]
\((X_1,Y_1)\)を除いても、\(\theta = 0\iff b_1 = b_2\)であるため、水準\(b_j\)間の平方和が\(0\)であることを帰無仮説として検定をすればよい。
解答の書き方は公式の解答を参照。
[5]
(b)は\(\mu_1=\cdots \mu_n \)\(\iff a_1= \cdots = a_n\)であるが、\((X_1,Y_1)\)を除いた場合、\(a_1\)を計算できないため、\(\iff a_2= \cdots = a_n\)すなわち、\(\mu_2=\cdots \mu_n \)の検定は行えるが、\(\mu_1=\cdots \mu_n \)の検定は行えない。特に、\(\mu_i ( i = 1,\cdots ,n)\)の中で\(\mu_1\)のみが平均から大きく離れている場合には、異なる検定結果になってしまう。
解答の書き方は公式の解答を参照。
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