[1]
\(\displaystyle \frac{\bar{y}-\mu_B}{s_y/\sqrt{15}}\sim t(14)\)より、上限下限は、
\(\displaystyle \bar{y} \pm t_{0.025}\frac{s_y}{\sqrt{15}}\)\(\displaystyle =20.0 \pm 2.145 \frac{10.0}{\sqrt{15}}\)
[2]
\(\displaystyle \bar{x} \sim N\left(\mu_A,\frac{\sigma^2}{n}\right)\)\(\displaystyle ,\bar{y} \)\(\displaystyle\sim N\left(\mu_B,\frac{\sigma^2}{n}\right)\)でこれらは独立なので、
\(\displaystyle \bar{x}-\bar{y} \sim N\left(\mu_A-\mu_B ,\frac{2\sigma^2}{n}\right)\)
また、\(\displaystyle \frac{(n-1)s_x^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)\(\displaystyle ,\frac{(n-1)s_y^2}{\sigma^2} \)\(\displaystyle \sim \chi^2(n-1)\)でこれらは独立なので、
\(\displaystyle \frac{(n-1)s_x^2}{\sigma^2}+ \frac{(n-1)s_y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2n-2)\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\frac{\bar{x}-\bar{y}-(\mu_A-\mu_B)}{\sqrt{2}\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\left( \frac{(n-1)s_x^2}{\sigma^2}+ \frac{(n-1)s_y^2}{\sigma^2} \right)/(2n-2)}}\)\(\displaystyle =\frac{\bar{x}-\bar{y}-(\mu_A-\mu_B)}{\sqrt{(s_x^2+s_y^2)/n}}\)\(\sim t(2n-2)\)
帰無仮説の下で数値を代入して、
\(\displaystyle \frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{(s_x^2+s_y^2)/n}}\)\(\displaystyle =\frac{27.0-20.0}{\sqrt{(8.0^2+10.0^2)/15}}\)\(=2.117\)\(> t_{0.025}(28)\)
なので、5%で有意である。
また、\(\mu_A-\mu_B\)の信頼区間の上限下限は、
\(\displaystyle \bar{x}-\bar{y} \pm t_{0.025}(2n-2)\sqrt{\frac{s_x^2+s_y^2}{n}} \)
\(\displaystyle = 27.0-20.0 \pm 2.048 \sqrt{\frac{8.0^2+10.0^2}{15}}\)
[3]
重なりがない場合
信頼区間の重なりがない場合、(\(\mu_A\)の信頼区間の下限)>(\(\mu_B\)の信頼区間の上限)の場合を考えると、
\(\displaystyle \bar{x} – t_{0.025}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\)\(\displaystyle > \bar{y} \)\(\displaystyle+ t_{0.025}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\)
の時、
\(\displaystyle \frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{(s^2+s^2)/n}}\)\(\displaystyle > \sqrt{2}t_{0.025}(n-1)\)
自由度\(2n-2\)の\(t\)検定なので、\(\displaystyle \sqrt{2}t_{0.025}(n-1)\)が\(t_{0.025}(2n-2)\)より大きいことを言えれば良いが、
\(t_{0.025}(n-1)>t_{0.025}(2n-2)\)
なので、
\(\sqrt{2}t_{0.025}(n-1)>t_{0.025}(2n-2)\)
が成り立つ。
重なりがある場合
信頼区間の重なりがある場合、重なりの幅を\(\Delta\)として、(\(\mu_A\)の信頼区間の下限)\(+ \Delta\)(\(=\mu_B\)の信頼区間の上限)の場合を考えると、
\(\displaystyle \bar{x} – t_{0.025}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}+\Delta \)\(\displaystyle = \bar{y} \)\(\displaystyle+ t_{0.025}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\)
の時、
\(\displaystyle \frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{(s^2+s^2)/n}}\)\(\displaystyle = \sqrt{2}t_{0.025}(n-1)\)\(\displaystyle -\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}s}\Delta\)
これが有意になるためには
\(\displaystyle = \sqrt{2}t_{0.025}(n-1)\)\(\displaystyle -\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}s}\Delta\)\(\displaystyle > t_{0.025}(2n-2)\)
よって、
\(\Delta \)\(\displaystyle < \frac{\sqrt{2}t_{0.025}(n-1)-t_{0.025}(2n-2)}{\sqrt{2}s/\sqrt{n}}\)
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