[1]
独立な時、\(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)\(,P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)\)なので
\( \displaystyle P(A \cap B) = \frac{9}{16}\)\(,\displaystyle P(A \cap B \cap C)= \frac{27}{64}\)
[2]
\(P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)\)
\( = \displaystyle \frac{3}{4}+\frac{3}{4} -P(A \cup B)\)
ベン図で考えると、\(P(A \cup B)\)は\(A,B\)が重なるときに最小値\(\displaystyle \frac{3}{4}\)を取り、\(A,B\)が最も離れる時に最大値\(1\)を取るので、
\(\displaystyle \frac{1}{2} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{4}\)
別解
数学でごり押しで解く方法を別解としました。
\(P(A \cap \bar{B}) = P(B \cap \bar{A}) = p_X\) \(,P(A \cap B) = p_{XY}\)とすると、
\(P(A) = P(B) = p_X + p_{XY} \displaystyle = \frac{3}{4}\)
\(P(A \cup B) = 2p_X + p_{XY}\)となる。
\(P(A) = P(B) = p_X + p_{XY} \displaystyle = \frac{3}{4}\)より、
\(p_X = \displaystyle \frac{3}{4}- p_{XY} \geq 0\)
として、\( \displaystyle p_{XY} \leq \frac{3}{4}\)
また、\(p_X = \displaystyle \frac{3}{4}- p_{XY} \)を\(P(A \cup B) = 2p_X + p_{XY} \leq 1\)に代入して、
\(P(A \cup B) = \displaystyle 2\left(\frac{3}{4}- p_{XY}\right) + p_{XY} \leq 1\)
これを解いて、\(\displaystyle \frac{1}{2} \leq p_{XY}\)
以上より、\(\displaystyle \frac{1}{2} \leq p_{XY}=P(A \cap B) \)\(\displaystyle \leq \frac{3}{4}\)
[3]
数学でごり押しで解く方法になってしまいました。
もっと簡単に解く方法はないのか・・・
以下ベン図で考えてください。
対称性から
\(P(X \cap \bar{Y} \cap \bar{Z})= p_X\)
\(P(X \cap Y \cap \bar{Z})= p_{XY}\)
\(P(X \cap Y \cap Z)= p_{XYY}\)
\( (ただし、(X,Y,Z)=(A,B,C),(B,C,A)\)\(,(C,A,B))\)とおくと、
\(P(X) = p_X+2p_{XY}+p_{XYZ} = \displaystyle \frac{3}{4}\)
また、\(0 \leq P(A \cap B \cap C) \leq 1\)より、
\(0 \leq 3p_X+3p_{XY}+p_{XYZ} \leq 1 \cdots ①\)
ここで、\(p_X+2p_{XY}+p_{XYZ} = \displaystyle \frac{3}{4}\)より、
\(p_X = \displaystyle \frac{3}{4}-2p_{XY}-p_{XYZ} \geq 0\)
なので、
\( p_{XYZ} \leq \displaystyle \frac{3}{4}-2p_{XY} \cdots ②\)
また、
\(p_X = \displaystyle \frac{3}{4}-2p_{XY}-p_{XYZ} \)を①に代入して、
\(0 \leq\displaystyle \frac{9}{4} -3p_{XY}-2p_{XYZ} \leq 1 \)となり、
\( \displaystyle \frac{5}{8}-\frac{3}{2}p_{XY} \leq p_{XYZ} \)\( \displaystyle \leq \frac{9}{8}-\frac{3}{2}p_{XY} \)\(\cdots ③\)
以上、②③の領域から
\(\displaystyle \frac{1}{4} \leq p_{XYZ} = P(A\cap B\cap C)\leq \frac{3}{4}\)
[4]
条件より、\(P(X \cap Y) = P(X)P(Y)\)(ただし、\((X,Y) = (A,B)\)\(,(B,C)\)\(,(C,A)\))が追加されたため、[3]の解き方に条件を追加して、
\(P(X \cap Y) = P(X)P(Y)\)
\(p_{XY}+p_{XYZ} = \displaystyle \frac{3}{4} \times \frac{3}{4}\)\(\displaystyle = \frac{9}{16}\)
よって、
\(p_{XYZ} = -p_{XY} +\frac{9}{16} \cdots ④\)
これも[3]のグラフに追加して、
[3]の②③の領域かつ④の直線上の線分が考える領域になり、
それぞれグラフの交点を求めることにより、
\(\displaystyle \frac{3}{8} \leq p_{XYZ} = P(A\cap B\cap C)\leq \frac{7}{16}\)
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