[1]
機械A,Bで発生する不良品の数を表す確率変数を\(X,Y\)とすると、\(X \sim B(m,p)\)\(,Y \sim B(n,q)\)で
\(Z = X+Y\)
\(E[Z] = E[X]+E[Y] = mp+nq\)
\(V[Z] = V[X]+V[Y] = mp(1-p)+nq(1-q)\)
[2]
\(m_Z(\theta) = E[e^{\theta Z}]= E[e^{\theta X}]E[e^{\theta Y}]\)
ここで、
\(\displaystyle E[e^{\theta X}] = \sum_{x=0}^m e^{\theta x} {}_{m}C_x p^x(1-p)^{m-x}\)
\(\displaystyle = \sum_{x=0}^n {}_{m}C_x {pe^\theta}^x(1-p)^{m-x}\)
\(\displaystyle = (pe^\theta+1-p)^{m}\) (二項定理により)
同様に\(\displaystyle E[e^{\theta Y}] \)も計算することにより、
\(m_Z(\theta) = E[e^{\theta X}]E[e^{\theta Y}]\)
\( =(pe^\theta+1-p)^{m}(qe^\theta+1-q)^{n} \)
[3]
チェビシェフの不等式についてはこちら。
チェビシェフの不等式は、
\(\displaystyle P(|Z-\mu|\geq \epsilon)\leq \displaystyle \frac{V[Z]}{\epsilon^2}\)
と表され、
[1]の結果と[3]の条件を用いると、\(E[Z] = 2.5\)\(,V[Z] = 2.455\)となり、
\(\displaystyle P(|Z-2.5|\geq \epsilon)\leq \displaystyle \frac{2.455}{\epsilon^2}\)
\(\iff \displaystyle P(Z\geq 2.5+\epsilon, Z \leq 2.5-\epsilon)\leq \displaystyle \frac{2.455}{\epsilon^2}\)
\(Z \geq 10\)の形を作るために\(\epsilon = 7.5\)として、
\( \displaystyle P(Z\geq 10 ,Z \leq -5)\leq \displaystyle \frac{2.455}{{7.5}^2}\)
\(Z\)は必ず\(0\)以上であるため、\(P(Z \leq -5)=0\)で
\( \displaystyle P(Z\geq 10)\leq \displaystyle \frac{2.455}{{7.5}^2} \approx 0.044\)
[4]
\(X,Y\)の分布にポアソン近似を用いると、\(B(n,p)\)に対して\(Po(np)\)として近似できるため、\(X\sim Po(2)\)\(,Y\sim Po(0.5)\)となる。
また、ポアソン分布は再生性があるため、\(Z = X+Y\sim Po(2+0.5)\)\(\sim Po(2.5)\)
よって、
\(P(Z=0) = g_{\lambda = 2.5}(0) =\displaystyle \frac{{2.5}^0}{0!}e^{-2.5}\)\(= e^{-2.5}\)
[5]
\(m_Z(\theta)\)
\(W \sim Po(\lambda)\)のモーメント母関数は
\( \displaystyle E\left[e^{\theta W}\right] = \sum_{w=0}^n e^{\theta w} \frac{{\lambda}^w}{w!}e^{-\lambda} \)
\( \displaystyle = e^{\lambda(e^\theta -1)}\sum_{w=0}^n \frac{{(\lambda e^\theta)}^w}{w!}e^{-\lambda e^\theta} \)
\( \displaystyle = e^{\lambda(e^\theta -1)}\)
\(Z \sim Po(2.5)\)なので、\(\displaystyle m_Z(\theta) =e^{2.5(e^\theta -1)} \)
\(\log _{10} P(Z \geq 10)\)
与えられた定理を利用して、
\(\displaystyle P(Z \geq 10) \leq e^{-10 \theta}e^{2.5(e^\theta -1)} \)
\(\displaystyle\log _{10} P(Z \geq 10) \leq \log _{10} e^{-10 \theta}e^{2.5(e^\theta -1)} \)
\(\displaystyle =(2.5(e^\theta -1)-10 \theta)\log _{10}e \)\( = h(\theta)\)として、\(h'(\theta) = 0\)とすると、
\(2.5 e^\theta -10 = 0\)\(\iff e^{\theta} = 4\)\(\iff \theta = \displaystyle \frac{\log_{10}4}{\log_{10}e}\)
これを代入して、
\(\displaystyle h(\theta) \leq \left (7.5-10\frac{\log_{10}4}{\log_{10}e}\right)\log _{10}e\)
\(\displaystyle = 7.5\log _{10}e -10\log_{10}4\)
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