三項分布の確率母関数

はじめに

三項分布の確率母関数を導出したのでまとめます。

三項分布は、多項分布の特殊バージョンで、多項分布は下のような式で表わされます。

三項分布の確率母関数の導出

三項分布の確率母関数\(G(s_1,s_2;n,p_1,p_2)\)

\(=E[s_1^{X_1}s_2^{X_2}]\)

\(=\displaystyle \sum s_1^{x_1}s_2^{x_2} \frac{n!}{x_1!x_2!x_3!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}\)

\(=\displaystyle \sum_{x_1=0}^n\sum_{x_2=0}^{n-x_1} s_1^{x_1}s_2^{x_2} {}_nC_{x_1}{}_{n-x_1}C_{x_2}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{n-x_1-x_2} \)

\(=\displaystyle \sum_{x_1=0}^n s_1^{x_1} {}_nC_{x_1} p_1^{x_1}\)\(\displaystyle \sum_{x_2=0}^{n-x_1} s_2^{x_2} {}_{n-x_1}C_{x_2} p_2^{x_2}p_3^{n-x_1-x_2} \)

\(=\displaystyle \sum_{x_1=0}^n {}_nC_{x_1} (s_1p_1)^{x_1} \)\(\displaystyle \sum_{x_2=0}^{n-x_1} {}_{n-x_1}C_{x_2} (s_2p_2)^{x_2}p_3^{n-x_1-x_2} \)

\(=\displaystyle \sum_{x_1=0}^n {}_nC_{x_1} (s_1p_1)^{x_1} (s_2p_2+p_3)^{n-x_1}\)

\(= (s_1p_1+s_2p_2+p_3)^n\)

以上より三項分布の確率母関数は以下のように導出出来ました。

三項分布の確率母関数の利用

\(X_1\)の分布

三項分布の確率母関数で\(s_2=1\)とすると、

\(G(s_1,1;n,p_1,p_2)\)

\(=E[s_1^{X_1}]\)

\(=(s_1p_1+p_2+p_3)^n\)

\(=((1-p_1)+s_1p_1)^n\)

これは\(B(n,p_1)\)の確率母関数であるため、\(X_1\sim B(n,p_1)\)だと分かります。

共分散\(Cov[X_1,X_2]\)

\(Cov[X_1,X_2]\)

\(=E[X_1X_2]-E[X_1]E[X_2]\)

ここで、

\( E[X_1X_2] \)

\(=\displaystyle \left.\frac{\partial^2G(s_1,s_2)}{\partial X_1 \partial X_2}\right|_{(s_1,s_2)=(1,1)}\)

\(=\left.n(n-1)p_1p_2( s_1p_1+s_2p_2+p_3 )^n\right| _{(s_1,s_2)=(1,1)} \)

\(=n(n-1)p_1p_2\)

よって、

\(Cov[X_1,X_2]\)

\(=E[X_1X_2]-E[X_1]E[X_2]\)

\( =n(n-1)p_1p_2 -np_1np_2\)

\(=-np_1p_2\)