[1]
\(F_1(u)=P(U \leq u)\)
\(\displaystyle = \int^{1}_{-1} P(U \leq u, V=v) \partial v\)
\(\displaystyle = \int^{1}_{-1} \frac{\partial}{\partial v}F(u,v) \partial v\)
\(\displaystyle = [F(u,v)]^{v=1}_{v=-1} \)
\(\displaystyle = F(u,1)-F(u,-1) = \frac{u+1}{2}\)
同様にして、\(u,v\)の対称性から
\(\displaystyle F_2(v)= \frac{v+1}{2}\)
[2]
\(\displaystyle P(U=u) = \frac{\partial}{\partial u}F_1(u) \)
\(\displaystyle = \frac{1}{ 2} \)
同様にして、
\(\displaystyle P(V=v) = \frac{\partial}{\partial u}F_2(v) \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \)
ここで、
\(\displaystyle P(U=u,V=v) = \frac{\partial ^2}{\partial u \partial v}F(u,v)\)
\(\displaystyle = \frac{1}{4}\)
\(\displaystyle P(U=u,V=v) = P(U=u)P(V=v) \)が成り立つので\(U\)と\(V\)は独立。
また、
\(\displaystyle P(U=u,V=v)= \frac{1}{4}\)なので、\((U,V)\)は一様分布に従う。
[3]
[2]で一様分布であることが分かったので、\((U,V)\)の取りうる全領域に対する、円板\(U^2+V^2 \leq 1\)の割合を計算すればよい。
\((U,V)\)の取りうる正方形板\(-1 \leq U,V\leq 1\)の面積は\(4\)であり、
円板\(U^2+V^2 \leq 1\)の面積は\(\pi\)なので、
\(P(U^2+V^2 \leq 1) = \displaystyle \frac{\pi}{4}\)
別解
きちんと確率計算の定義に従った場合の解き方。
\(\displaystyle P(U^2+V^2 \leq 1) = \int \int _{u^2+v^2 \leq 1} P(U=u,V=v) dudv\)
\(\displaystyle = \int \int _{u^2+v^2 \leq 1} \frac{1}{4} dudv\)
ここで、\(u = r \cos \theta\)\(,v = r \sin \theta\)と置換を行うと、
\(\displaystyle = \int ^1_0 \int ^{2\pi}_0 \frac{1}{4}r drd\theta\)
\(\displaystyle = \frac{\pi}{4}\)
[4]
\(P(U^2-2UV+V^2\leq 1) = P((U-V)^2\leq 1)\)
\( = P(-1 \leq U-V \leq 1)\)\( = P(U-1 \leq V \leq U+1)\)
これは、\((U,V)\)の取りうる全領域に対する以下の2直線の間の領域の面積の割合になります。
2直線の間の領域の面積は、\(2\times 2\)の正方形から右上と左下の\(1\times 1\)の直角二等辺三角形2つを除いて、
\(2 \times 2-1 \times 1 /2 \times 2 = 3\)
よって、
\(\displaystyle P(U^2-2UV+V^2\leq 1) = \frac{3}{4}\)
[5]
\(E[V]\)
条件\(U^2-2UV+V^2\leq 1\)を\(Q\)と置くと、例えば求める\(V\)の期待値は\(E[V|Q]\)となる。
以下数学的な表記としては厳密性はないかもしれませんが、
\(\displaystyle E[V|Q]=\int^1_{-1}\int^1_{-1} vP(U=u,V=v | Q)dudv\)
[3]より、\(\displaystyle P(Q)=\frac{3}{4}\)のなので、
\(\displaystyle =\int^1_{-1}\int^1_{-1} v\frac{P(U=u,V=v , Q)}{P(Q)}dudv\)\(\displaystyle =\frac{4}{3}\int^1_{-1} \int^1_{-1} vP(U=u,V=v , Q)dudv\)
\(Q\)を満たさない時、\(P(U=u,V=v , Q)=0\)になるので、その部分の積分区間を積分範囲から除く操作をすると、
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\int \int_{-1 \leq u,v \leq 1 , \{(u,v)| Q\} } vP(U=u,V=v)dudv\)
[2]より、\(\displaystyle P(U=u,V=v)=\frac{1}{4}\)のため、
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\int\int_{-1 \leq u,v \leq 1, \{(u,v)| Q\} } vdudv\)
原点に対して点対称であるため\(0\)とするか、
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\int ^{1}_0\left (\int^{1}_{v-1}du\right)vdv\) \(\displaystyle +\frac{1}{3}\int ^{0}_{-1}\left (\int^{v+1}_{-1}du\right)vdv\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\int ^{1}_0(-v+2)vdv\) \(\displaystyle +\frac{1}{3}\int ^{0}_{-1}(v+2)vdv\) \(\displaystyle =0\)
\(V[V]\)
\(\displaystyle V[V|Q]=E[V^2|Q]-E[V|Q]^2\)
\(E[V^2|Q]\)を計算していくが、途中まで\(E[V|Q]\)と同様の計算をして、
\(\displaystyle E[V^2|Q]=\frac{1}{3}\int\int_{-1 \leq u,v \leq 1, \{(u,v)| Q\} } v^2dudv\)
\(v\)が正と負の範囲の対称性を利用して、
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\int ^{1}_0\left (\int^{1}_{v-1}du\right)v^2dv\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\int ^{1}_0 (-v+2)v^2dv\)\(\displaystyle =\frac{5}{18}\)
よって、
\(\displaystyle V[V|Q]=E[V^2|Q]-E[V|Q]^2\)
\(\displaystyle =\frac{5}{18}-0\)\(\displaystyle =\frac{5}{18}\)
相関係数
相関係数\(\rho_{U,V|Q}\)は、
\(\displaystyle \rho_{U,V|Q} = \frac{S_{U,V|Q}}{\sqrt{V[U|Q]}\sqrt{V[V|Q]}}\)
分母は\(U,V\)の対称性から
\((分母)=\sqrt{V[U|Q]}\sqrt{V[V|Q]}\)\(\displaystyle =\sqrt{\frac{5}{18}}\sqrt{\frac{5}{18}}\)\(\displaystyle =\frac{5}{18}\)
分子は、
\(S_{U,V|Q} = E[UV|Q] -E[U|Q]E[V|Q]\)
ここでも対称性から\(E[U|Q] = E[V|Q] =0\)で、\(E[V|Q]\)と同様の計算を途中まですると、
\(\displaystyle E[UV|Q]=\frac{1}{3}\int\int_{-1 \leq u,v \leq 1, \{(u,v)| Q\} } uvdudv\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\int\int_{-1 \leq u,v \leq 1, \{(u,v)| Q\} } uvdudv\)
積\(uv\)は原点対称なので、
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\int ^{1}_0\left (\int^{1}_{v-1}udu\right)vdv\)\(\displaystyle =\frac{5}{36}\)
以上より、
\(\displaystyle \rho_{U,V|Q} = \frac{S_{U,V|Q}}{\sqrt{V[U|Q]}\sqrt{V[V|Q]}}\)
\(\displaystyle = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{5}{18}}\)\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
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