正規分布の\(X^2\)の期待値の導出

はじめに

確率変数\(X\)が正規分布\(N(\mu,\sigma)\)に従うときの\(X^2\)の期待値\(E[X^2]\)を導出したのでまとめます。

\(V[X]=E[X^2]-E[X]^2\)の式を使えば簡単に計算は出来ますが、今回は確率密度関数を使って計算をしました。

導出

\(X～N(\mu,\sigma)\)のとき

\(f_X(x)=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\displaystyle \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

\(E[X^2]\)
\(=\displaystyle \int_{-\infty}^\infty x^2 \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\displaystyle \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx\)

ここで、\(\displaystyle \frac{x-\mu}{\sigma}=z\)で置換積分を行うと、

\(=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}(\mu+\sigma z)^2 \frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz \)
\(=\mu^2 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz \)\(+ 2\mu\sigma \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz \)\(+ \sigma^2 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z^2\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz \)

第1項は、標準正規分布の全範囲積分で

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz =1\)

第2項の積分は、

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz \)
\(=\left[- \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}} \exp \left({-\displaystyle \frac{z^2}{2}}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\)
\(=0\)

第3項の積分は、

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z^2 \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}}e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}} dz \)
\(= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z\times \left(z e^{-\displaystyle \frac{z^2}{2}}\right ) dz \)

部分積分を行うと、

\(= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}} \left[z \left(-\exp\left(-\displaystyle \frac{z^2}{2}\right)\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\)\(- \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} -\exp\left(-\displaystyle \frac{z^2}{2}\right) dz\)

\(= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}} \left[z \left(-\exp\left(-\displaystyle \frac{z^2}{2}\right)\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\)\(+ \displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{2\pi}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\displaystyle \frac{z^2}{2}\right) dz\)

この後半部分は標準正規分布の全範囲の積分計算である。

前半部分は、極限を考えることになるが、

\(\displaystyle \lim_{z \to \infty}z\exp\left({-\displaystyle \frac{z^2}{2}}\right)\)
\(= \displaystyle \lim_{z \to \infty} \displaystyle \frac{z}{ \exp\left({\displaystyle \frac{z^2}{2}}\right) }\)

ロピタルの定理により、

\( = \displaystyle \lim_{z \to \infty} \displaystyle \frac{1}{ z\exp\left({\displaystyle \frac{z^2}{2}}\right) } \)
\(=0\)

\(z\to -\infty\)の時も同様である。

以上より、

$$E[X^2]=\mu^2+\sigma^2$$