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はじめに 負の二項分布の確率母関数を導出したのでまとめます。 負の二項分布は次のような条件で現れます。 成功確率\(p\)の事象を\(r\)回成功するまでの失敗の回数\(x\)は負の二項分布\(NB(r,p)\)に従う。 確率密度関数は下の...

はじめに 超幾何分布の期待値と分散を導出したのでまとめます。 超幾何分布とは下のような状況の時に現れる分布です。 超幾何分布 赤玉\(M\)個、白玉\((N-M)\)個から\(n\)個を取り出す時の赤玉の個数\(x\)は超幾何分布に従う 超...

はじめに 中心極限定理を使って、二項分布を正規分布に近似したのでまとめます。 中心極限定理 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\bar{X}-\mu} {\sigma/\sqrt...

はじめに 統計検定1級の勉強をしていて、チェビシェフの不等式、大数の弱法則、中心極限定理の証明が難しすぎたので、自分の記録用にまとめます。 チェビシェフの不等式 チェビシェフの不等式 \(\epsilon>0\)に対して $$P(|Z-\m...

はじめに 統計検定1級対応のテキスト『統計学』の第1章練習問題問1.3を解きました。 難しかったため、自分用に解説を残しておきます。 解き方は、以下のサイトを参考にして、自分の解きやすい方法にアレンジしました。 数学的な厳密さに欠ける部分も...

はじめに 2変数の確率密度関数の変数変換についてまとめます。 導出 まず、確率変数\(X,Y\)の確率密度関数が\(f_{XY}(x,y)\)だとします。 すると確率密度関数の定義から、以下のような式が成り立ちます。 \(\displays...

はじめに 不偏共分散の以下の式を導出したのでまとめます。 不偏共分散 $$s_{xy}=\displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \frac{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n...

はじめに 統計検定の勉強をしていて下のような不偏分散の式を見かけます。 不偏分散 $$s=\displaystyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$ なぜ\(...

はじめに 二項分布の分散って導出するのが大変ですよね。 確率母関数またはモーメント母関数を計算出来れば、その確率変数のモーメントを簡単に計算出来ます。 確率母関数とモーメント母関数の使い分けは、離散型確率分布なら確率母関数、連続型確率分布な...