統計 多変量正規分布のモーメント母関数を2階微分してみる
はじめに\(\boldsymbol{X}\)が\(p\)次元確率変数、\(\boldsymbol{\mu}\)が\( \boldsymbol{X} \)の平均ベクトル、\(\boldsymbol{\Sigma}\)が\( \boldsymb...
統計
統計 統計 多変量正規分布のモーメント母関数を微分してみる
はじめに\(\boldsymbol{X}\)が\(p\)次元確率変数、\(\boldsymbol{\mu}\)が\( \boldsymbol{X} \)の平均ベクトル、\(\boldsymbol{\Sigma}\)が\( \boldsymb...
統計 ロジスティック分布のモーメント母関数と期待値
はじめにロジスティック分布のモーメント母関数と期待値を計算したのでまとめます。ロジスティック分布は以下の確率密度関数で表される分布です。ロジスティック分布$$\displaystyle f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x...
統計 ワイブル分布の\(m\)次モーメントと期待値
はじめにワイブル分布の\(m\)次モーメントを導出して、期待値を計算したのでまとめます。ワイブル分布の確率密度関数は色々な表し方がありますが、今回は一番シンプルだと思われる以下の式で\(m\)次モーメントと期待値を計算しようと思います。ワイ...
統計 ベータ分布の期待値と分散
はじめにベータ分布の期待値と分散を計算したのでまとめます。ベータ分布の確率密度関数は以下です。ベータ分布$$\displaystyle f(x)= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\b...
統計 『統計学』第2章練習問題問2.3
はじめに統計検定1級対応のテキスト『統計学』の第2章練習問題問2.3を解いたのでまとめておきます。以下の問題に似ているのでこちらも参考にしてください。問題問題の概要のみ載せておきます。\(F\)は累積分布関数で狭義単調増加\(Y \sim ...
統計 ガンマ関数とベータ関数の関係式の証明
はじめにガンマ関数とベータ関数の間には以下のような関係式があります。$$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta...
統計 ガンマ分布とポアソン分布の関係性
はじめにガンマ分布とポアソン分布には密接な関係性があります。その関係性を表す式の計算をしたのでまとめます。式の計算確率変数\(T\)がガンマ分布に従うとき、\(T \sim Ga(k,\lambda)\)となり、確率密度関数は\(\disp...
統計 ガンマ分布の確率密度関数の覚えやすい形とモーメント母関数
ガンマ分布の確率密度関数ガンマ分布の確率密度関数はよく統計検定の参考書では以下のように表されます。$$f(x;\alpha,\beta)=\displaystyle \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^...
統計 三項分布の確率母関数
はじめに三項分布の確率母関数を導出したのでまとめます。三項分布は、多項分布の特殊バージョンで、多項分布は下のような式で表わされます。多項分布$$P(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})=\displaystyle \...