正規分布のモーメント母関数

統計

2021.10.102021.12.29

はじめに
導出

はじめに

正規分布$N(\mu,\sigma^2)$に従う確率変数$X$のモーメント母関数$m(\theta)$を導出しました。

導出

$\displaystyle m(\theta) = E\left[e^{\theta X}\right]$

$\displaystyle =\int ^{\infty}_{-\infty} e^{\theta x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$

$\displaystyle =\int ^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+\theta x}dx$

ここで指数部分のみを平方完成すると、

$\displaystyle -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+\theta x $

$\displaystyle =-\frac{\left(x-(\mu + \sigma^2 \theta)\right)^2}{2\sigma^2}+\mu \theta +\frac{\sigma^2 \theta^2}{2}$

$ \displaystyle m(\theta) = \int ^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{ -\frac{\left(x-(\mu + \sigma^2 \theta)\right)^2}{2\sigma^2}+\mu \theta +\frac{\sigma^2 \theta^2}{2} }dx $

$ \displaystyle =e^{\mu \theta +\frac{\sigma^2 \theta^2}{2}} \int ^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{ -\frac{\left(x-(\mu + \sigma^2 \theta)\right)^2}{2\sigma^2}}dx $

$ x-(\mu + \sigma^2 \theta) = t-\mu$など置換積分してもいいが、積分範囲が$-\infty \to \infty$なので無視して、積分部分は1である。

よって、

$$\displaystyle m(\theta)= e^{\mu \theta +\frac{\sigma^2 \theta^2}{2}} $$